Применения языка алгебры высказываний

Запись предложений естественного языка. Предложе­ния естественного языка имеют самое различное строе­ние. Во многих из них можно выделить такие компонен­ты, которые сами являются предложениями. Эти более простые предложения соединены в сложное с помощью союзов и знаков препинания. В устной речи последние передаются интонацией. Языку свойствен большой набор союзов-связок, каждая из которых имеет свой оттенок. В логике эти оттенки игнорируются и все многообразие языковых средств связывания простых предложений в сложное передается небольшим набором логических операций. Проиллюстрируем сказанное примерами.

Пример 9. Записать формулой алгебры высказываний пред­ложение:

«Числовые выражения, а также выражения с переменными, в которых используются операции сложения, вычитания, умноже­ния, деления и возведения в степень, являются рациональными».

Предложение представляет собой описание понятия рацио­нального выражения. Класс R рациональных выражений, согласно предложению, есть объединение классов С и Р; R=CÈP, где С — класс числовых выражений, в которых используются операции сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень, Р — класс выражений с переменными, в которых используются тс же операции.

Итак, всякий элемент х класса R принадлежит либо классу С, либо классу Р. Приведенное разъяснение показывает, что оборот «а также» выражает альтернативную связь. Легко понять, что под­черкнутые запятые и слово «и» выражают дизъюнк­тивную связь. Чтобы убедиться в этом, распишем подробнее пред­ложение:

Выражение А — рациональное тогда и только тогда, когда A либо числовое выражение, либо выражение с переменными, в которых используются операции сложения или вычитания, или умножения, или деления, или возведения в степень.

Для записи предложения в виде формулы введем обозна­чения:

Р — А — числовое выражение,

Q — А — выражение с переменными,

R — в выражении А используется операция сложения,

S — в выражении А используется операция вычитания,

Т — в выражении А используется операция умножения,

U — в выражении А используется операция деления,

V — в выражении А используется операция возведения в степень,

W — А — рациональное выражение.

Тогда предложение запишется формулой

W~ (PÚQ)ÙØ(PÙQ)Ù(RÚSÚTÚUÚV).

В данном примере оборот «X, а также Y» используется в смысле «X или Y, но не X и Y одновременно», который соответствует фор­муле алгебры высказываний (XÚY)ÙØ(XÙY). Истинностная функ­ция, описываемая этой формулой, имеет более краткое обозначение , называется альтернативой (строгой дизъюнкцией) и задается табл. 2

Таблица 6

X	Y
И	И	Л
И	Л	И
Л	И	И
Л	Л	Л

Использовав альтернативу, формулу можно переписать короче:

W~()Ù(RÚSÚTÚUÚV).

Контрольные вопросы

1. Алфавит и формулы алгебры высказываний. Семантика букв алфавиты.

2. Истинностные значения. Истинностные таблицы формул.

3. Классификация формул. Общезначимые и выполнимые формулы.

4. Логические уравнения.

5. Равносильные формулы. Равносильные преобразования формул.

6. Отношение логического следования.

7. Применение алгебры высказываний.