Удк 004. 925. 8

ББК в6

© Б.В. Кириличев, 2006

© МГИУ, 2006

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ………………………………………………………………..9

ВВЕДЕНИЕ.…………………………………………………………………...13

1.МОДЕЛИ И ИХ СВОЙСТВА..……………………………………………14

1.1. Основные понятия и определения…………………………………..14

Вопросы к разделу 1.1………………….....................................................15

1.2.Целенаправленность моделей……………………………………….16

Вопросы к разделу 1.2…………………………………………………….17

1.3.Свойства моделей…………………………………………………….17

1.3.1. Конечность……………………………………………………....17

1.3.2. Упрощенность…………………………………………………...17

1.3.3. Приближенность………………………………………………...17

1.3.4. Адекватность…………………………………………………….17

1.3.5. Истинность………………………………………………………18

1.3.6. Ингерентность…………………………………………………...18

Вопросы к разделу 1.3……………………………………………………19

1.4.Способы реализации моделей…………………………………….....19

1.4.1. Материальные модели…………………………………………..19

1.4.2. Виды подобия……………………………………………………20

Прямое подобие……………………………………………...…..…...20

Косвенное подобие………………………………………………...…20

Условное подобие……………………………………...………..…...22

1.4.3. Идеальные модели………………………………………….........23

Модели, создаваемые средствами языка………………………........23

Знаковые модели……………….…………………………..………...24

Вопросы к разделу 1.4…………………………………………………….26

1.5. Виды моделей………………………………………………………...26

1.5.1. Познавательные и прагматические модели……………………26

1.5.2. Детерминированные и вероятностные модели………………..27

1.5.3. Непрерывные и дискретные модели……………………………28

1.5.4. Статические и динамические модели…………………………..29

1.5.5. Линейные и нелинейные модели……………………………….31

Преимущества и недостатки линейных моделей……...…………...34

1.5.6. Стационарные и нестационарные модели……………………..35

1.5.7. Сосредоточенные и распределенные модели………………….36

1.5.8. Классификация видов моделей…………………………………37

Вопросы к разделу 1.5…………….………………………………………41

1.6.Кибернетическиемодели систем…………………....……………...41

1.6.1. Модель типа «черный ящик»…………………………………...43

Сложности построения модели «черный ящик»…………..……….44

1.6.2. Модель состава системы………………………………………...44

Сложности получения модели состава системы……………..…….45

1.6.3. Модель структуры системы………………………………….…45

Свойства и отношения……………..……………………...……....…46

Способы задания бинарных отношений…………………....………46

Элементарные свойства бинарных отношений…….……...……….48

Отношения эквивалентности, порядка и доминирования……..…..50

Модель принятия решений на основе бинарных отношений……..50

1.6.4. Графы………………………………………………...…………...51

1.6.5. Структурная схема системы…………………………………….54

1.6.6. Итоги анализа моделей систем…………………………………55

Вопросы к разделу 1.6………………………………………………….....56

2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ……..57

2.1.Общаяматематическая модель динамической системы………......57

Вопросы к разделу 2.1…………………………………………………….58

2.2. Частные математические модели динамических систем………….58

2.2.1. Модели детерминированных линейных непрерывных систем.59

2.2.2. Модели дискретных систем. Конечные автоматы…………….59

Вопросы к разделу 2.2…………………………………………………….67

2.3. Свойства динамических систем…………………...………………...68

Вопросы к разделу 2.3…………………………………………………….70

2.4. Линейная непрерывная модель многомерной детерминированной динамической системы в переменных состояния..………………………...70

Вопросы к разделу 2.4…………………………………………………….72

2.5. Векторы…...…………………………………………………………..72

2.5.1. Внутреннее, или скалярное произведение векторов…………..72

Ортогональные векторы………………………………………..........73

2.5.2. Внешнее, или векторное произведение векторов……………..73

2.5.3. Длина вектора……………………………………………………73

2.5.4. Неравенства……...………………………………………………73

Неравенство треугольника……...…………………………………...73

Неравенство Шварца……...………………………………...………..73

2.5.5. Линейная независимость векторов……………………………..74

2.5.6. Особенная матрица……………………………………………...74

Вырожденность..………………………………………………...74

Правило вырожденности Сильвестра…………...……………..74

2.5.7. Определитель Грама…………………………..………………...74

Вопросы к разделу 2.5…………………………………………………….75

2.6.Линейноевекторное пространство……..…………………………...75

2.6.1. Характеристические числа и характеристические векторы…..76

2.6.2. Формула Бохера………………………………………………….78

2.6.3. Модальная матрица……………………………………………...79

2.6.4. Диагонализация квадратной матрицы………………...………..81

Вопросы к разделу 2.6…………………………………………………….84

2.7. Управляемость и наблюдаемость…………...……………………....85

Вопросы к разделу 2.7…………………………………………………….88

3. КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ……...…..89

3.1. Ошибки усечения и округления………………..……………………89

3.2. Метод Эйлера…………..……………………………………………..90

3.3. Методы Рунге-Кутта……………………………………...………….90

3.4. Сравнение различных методов решения. Контроль величины шага и устойчивость…………………..…………………………………………….91

Вопросы к главе 3…………………………………………………………92

4. ДИНАМИКА РАЗВИТИЯ И ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МОДЕЛЕЙ………...93

4.1.Сложностиалгоритмизации моделирования….…………………....94

Вопросы к главе 4…………………………………………………………95

5. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ…………………………………………………………..96

5.1. Аналитические модели систем массового обслуживания (СМО)...96

5.1.1. Важнейшие выходные параметры СМО……………………….96

5.1.2. Простейшие модели СМО…………………………….………...97

5.1.3. Общая характеристика моделей СМО……….……………….100

5.1.4. Дисциплины обслуживания….………………………………..100

5.1.5. Характеристики входного потока заявок….………………….101

Свойства простейшего потока……………………………………….101

Характеристики входного потока…………………………………...101

5.1.6. Функция распределения Пуассона…….……………………...102

5.1.7. Характеристики обслуживания….…………………………….103

5.1.8. Показательный закон распределения времени обслуживания………………………………………………………………...103

Достоинства использования экспоненциального закона…………..104

5.1.9. Показатели качества обслуживания.………………………….105

5.1.10. Согласование источника заявок с каналом обслуживания...105

Случай согласования простейшего пуассоновского потока заявок с каналом с показательным законом распределения времени обслуживания….……………………………………………………...106

Случай согласования простейшего пуассоновского потока заявок с каналом с постоянным временем обслуживания…………………...107

5.1.11. Оценка эффективности работы многоканальной СМО….…108

Формула Эрланга……………………………………………………109

Критерии эффективности работы многоканальной СМО…..........110

Пример оценки эффективности работы многоканальной СМО…110

Вопросы к разделу 5.1………..….............................................................111

5.2. Сети Петри…………...……………………………………………...112

5.2.1. Маркировка………………………………………..……………113

5.2.2. Правила срабатывания переходов…………………......……...113

5.2.3. Разновидности сетей Петри……………………………...…….114

5.2.4. Конфликтные ситуации в сетях Петри……………………..…114

5.2.5. Пример сети Петри для работы группы пользователей на одной рабочей станции……………………………………………………………..115

5.2.6. Пример сети Петри для системы обнаружения и устранения неисправностей в технической системе……………………………………115

5.2.7. Анализ сетей Петри…………………..………………………...116

Вопросы к разделу 5.2……………….......................................................118

6. ИМИТАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ……………………………....119

6.1. Имитационный эксперимент..………………………..……….........121

6.2. Развитие имитационного моделирования (ИМ).………………….122

6.3. Этапы имитационного моделирования...………………………....123

6.4. Подходы к построению имитационных моделей……………..…..124

6.4.1. Событийный подход……......……………………………….…125

6.4.2. Подход сканирования активностей……..………………..…...125

6.4.3. Процессно-ориентированный подход………..……………….126

6.5. Разработка программ имитационного моделирования…...………126

6.5.1. Использование для ИМ универсальных языков программирования……………………………………………………...........126

6.5.2.Использование для ИМ специализированных языков моделирования……………………………………………………………….127

6.5.3. Создание и использование проблемно-ориентированных систем моделирования…………………………………...………………….127

6.6. Имитационное моделирование систем массового обслуживания.128

6.6.1. Событийный метод организации вычислений…..…………...128

6.6.2. Схема реализации событийного метода ИМ…………..…......129

Вопросы к главе 6…………………..……………………………………130

7. МЕТОД «РЕСУРСЫ-ДЕЙСТВИЯ-ОПЕРАЦИИ» (РДО)…………...….131

7.1. Основные положения метода РДО …………….……………….…131

7.1.1. Ресурсы сложной дискретной системы (СДС)...…………......131

7.1.2. Действия в СДС………………………………………..……….132

7.1.3. Операции в СДС…………………………………..……………132

7.1.4. Основные положения РДО-метода…..………………………..133

7.2. Представление СДС в РДО-методе…..……………………………134

7.3. Базовая структура инструментальной среды.………......................135

7.4. Продукционный имитатор……………..…………………………...136

7.5. Моделирование в среде РДО…………………………..…………...136

7.5.1. Основные понятия………………..…………………………….136

7.5.2. Объекты исходных данных и объекты, создаваемые РДО-имитатором при выполнении прогона……………………………..………137

7.5.3. Состав объектов модели…………………..…………………...138

7.5.4. Назначение объектов модели……………………………..…...139

7.6. Интегрированная среда моделирования (ИСМ) РДО………….....140

7.6.1. Состав функций ИСМ……………..…………………………...141

7.6.2. Главное окно ИСМ РДО………………………..……………...143

7.6.3. Инструментальная панель………………………………..……144

7.6.4. Работа с РДО-имитатором………………………..……………144

Окно РДО-имитатора……………………………………………….144

Использование анимации…………………………………………..145

Пример описания кадра анимации………………………………...148

Вопросы к главе 7…………………..……………………………………150

8. КРАТКОЕ ОПИСАНИЕ ЯЗЫКА GPSS………….……………...............151

8.1. Оператор GENERATE……..………………………………………..151

8.2. Оператор FUNCTION…………………………..…………………...152

8.3. Операторы SPLIT и ASSEMBLE…………………………..………152

8.4. Операторы SEIZE и RELEASE………………………………..…...153

8.5. Оператор ADVANCE……………………………………..………...153

8.6. Операторы ENTER и LEAVE……………………………………....154

8.7. Операторы QUEUE и DEPART……………………..……………...155

8.8. Оператор TEST…………………………………………..………….155

8.9. Операторы START и TERMINATE……………………………..…156

8.10. Оператор TRANSFER…………………………………..…………156

8.11. Оператор ASSIGNE………………………………………..………157

8.12. Операторы управления движением заявок…………………..…..157

8.13. Вычислительный оператор VARIABLE………………………….158

8.14. Оператор синхронизации МАТСН………………………..……...158

8.15. Пример программы на языке GPSS для СМО…………………...158

Вопросы к главе 8…..……………………………………………………160

9. ПЛАНИРОВАНИЕ КОМПЬЮТЕРНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ С МОДЕЛЯМИ СИСТЕМ……………………………………………………..161

9.1. Основные понятия теории планирования экспериментов…..……162

9.2. Модели планирования эксперимента………………………..…….164

9.3. Виды планов экспериментов………………………..……………...168

Вопросы к главе 9……………………………..…………………………171

10. ОБРАБОТКА И АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ………………………………………………………...172

10.1. Методы оценки……..……………………………………………...172

10.2. Статистические методы обработки………………………………173

10.3. Задачи обработки результатов моделирования……………….....176

10.3.1. Критерий согласия Колмогорова………..…………………...177

10.3.2. Критерий согласия Пирсона...……………………………..…178

10.3.3. Критерий согласия Смирнова……………………………..…178

10.3.4. Критерий согласия Стьюдента…………………………….....179

10.3.5. Критерий согласия Фишера………………………………….179

10.4.Анализ и интерпретация результатов компьютерного моделирования…………………………………………………………….....180

10.4.1. Корреляционный анализ результатов моделирования..……180

10.4.2. Регрессионный анализ результатов моделирования……..…183

10.4.3. Дисперсионный анализ результатов моделирования……....185

Пример исследования САУ под действием случайных возмущений..187

Вопросы к главе 10………..……………………………………………..191

ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………..………………………………………………….192

СПИСОКЛИТЕРАТУРЫ…………………………………………………...193

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Некоторые сведения из теории матриц…... …………194

Основные типы матриц…………………………………………….…....194

Специальные типы матриц……………………………………………...195

Операции над матрицами………………...……………………………..196

Сложение матриц………………….………..………………………..196

Умножение матриц………………….…………………………...…...197

Дифференцирование матриц……….………….………………….....198

Интегрирование матриц………………………..………….................199

Определители……………………...………………………...…………...200

Свойства определителей…………….……………………………..…200

Миноры и алгебраические дополнения…………...………………........200

Присоединенная матрица…………………...…………………………..201

Обратная матрица…………………..………………….………………...201

Произведение определителей……………...………………………........201

Производная от определителя…………………………………………..201

Произведение обратных матриц…………………….……….................202

Производная от обратной матрицы……………….……………………202

Некоторые специальные обратные матрицы……..………....................202

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Некоторые сведения из теории графов……….………203

Описание спортивных соревнований с помощью графов…………….203

Нуль-граф и полный граф...……………………...……………………...204

Изоморфные графы…….………………………………………………..206

Плоские графы……………………………………………………….. …209

Число ребер графа………...……………………………………………..211

Формула Эйлера…………………………………………………………214

ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Непрерывные одномерные распределения…………..215

Нормальное распределение………………..…………………..………..215

Равномерное распределение……………..…………………………..….216

Распределение Лапласа………………………………..………………...217

Вырожденное распределение…………………………………………...218

ПРИЛОЖЕНИЕ 4. Краткие сведения о специализированных языках и проблемно-ориентированных системах имитационного моделирования.219

Process Charter-1.0.2……………………………………….……………..220

Powersim-2.01…………………………………………………………….220

Lthink-3.0.61……………………………………………………………...221

Extend+BPR-3.1…………………………………………………………..221

ReThink…………………………………………………………………...221

Piligrim-2.1………………………………………………………………..221

Arena-BE 3.6.1……………………………………………………………222

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ…………..………………………………….223

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ……………………...…………………………..228

ПРЕДИСЛОВИЕ

Модели окружают человека с самого его рождения: игрушки представляют собой модели животных, машин, самолетов и т.п.; сказки моделируют поведение различных, в том числе и нереальных, персонажей; заветные мечты воплощаются в моделях будущего в фантастических произведениях литературы, живописи, кинематографии, в компьютерной графике и анимации, в смелых научных гипотезах и догадках.

Однако модели используются не только в фантастике или бытовой повседневности, но и в серьезных научных и технических проектах. Для принятия важных конструкторских решений воздействие на фюзеляж и крылья самолета набегающего потока воздуха моделируется в аэродинамической трубе. В планетарии можно погрузиться в мир космоса и увидеть модели солнечной и других планетных систем, скоплений звезд и галактик. Переходный процесс на выходе модели системы автоматического регулирования скорости автомобиля позволяет оценить, насколько быстро, точно и плавно автомобиль, оснащенный такой системой, отследит новое заданное значение скорости.

Сложные системы, такие, как современные плавательные, подводные, наземные, летательные, космические аппараты, энергетические и климатические установки, разнообразные автоматы, роботы и т.д., а также входящие в них подсистемы: приводы, электронные блоки управления, измерительно-преобразовательные части, обязательно и зачастую неоднократно проходят этапы моделирования в процессе проектирования и эксплуатации с целью выявления характерных особенностей их работы в будущем. Проектная документация различных сооружений, зданий, мостов, кораблей, самолетов и др. также может рассматриваться в качестве моделей будущих реальных объектов.

Стремление попробовать, испытать, проверить, узнать являются неотъемлемыми чертами пытливого ума человека, который активно интересуется окружающим его миром, к которому он, с одной стороны, должен приспосабливаться сам и который, с другой стороны, он преобразует и приспосабливает к своим потребностям. Модели и моделирование позволяют человеку проверить свои представления о том или ином предмете, явлении или процессе, исследовать его свойства, установить причинно-следственные и иные связи, не подвергая риску реальную исследуемую систему, объект или процесс, а также и самого себя.

Систематизация свойств различных по своей природе и назначению моделей позволит упорядочить великое множество моделей, которые встречались Вам ранее, некоторые из них Вы использовали, но, возможно, даже не задумывались об их отличительных чертах. Разумеется, материальные модели будут интересовать нас в меньшей степени. В соответствии с профилем специальности 220301, наибольшее внимание в этом учебном материале уделено абстрактным математическим моделям и их свойствам.

Вначале обсуждаются основные понятия и определения, рассматриваются общие свойства материальных и абстрактных моделей, виды подобия, приводятся примеры.

В первой главе рассматриваются наиболее простые аналитические детерминированные линейные динамические модели с одним входом и одним выходом, с которыми, как правило, имеют дело в процессе изучения теории автоматического регулирования. Они позволяют описывать достаточно широкий класс систем. Сравнение линейных моделей в виде дифференциальных уравнений, передаточных функций и частотных характеристик позволяет лучше понять модельные особенности различных математическихсредств. Затрагиваются также нестационарные, распределенные и нелинейные модели. Приводится классификация видов моделей в зависимости от степени идеализации, принятой при их описании.

Во второй главе рассматривается широко распространенный класс дискретных по времени и по уровню систем – конечных автоматов и соответствующий аппарат графов, наиболее употребимый для описания подобных моделей, использующих бинарные отношения между объектами. Графы находят применение при описании отношений в самых разнообразных сферах человеческой деятельности, поэтому некоторый пояснительный и справочный материал из теории графов приведен дополнительно в Приложении 2. Кроме того, во второй главе вводится понятие состояния системыи описывающих его переменных состояния. Модели «вход-состояние-выход» расширяются на многомерный случай, для описания которого требуется знание теории матриц и линейных векторных пространств. Для обеспечения возможности освежить сведения из соответствующей теории в учебник включено приложение 1. Для случая симметрических матриц объекта, что соответствует различным характеристическим числам объекта управления, выводятся критерии полной управляемости и полной наблюдаемости линейных динамических систем любого порядка. Эти критерии позволяют ответить на вопрос о полной управляемости и наблюдаемости, который является чрезвычайно важным для функционирования систем и стоит непосредственно сразу за вопросом об их устойчивости.

В третьей главе уделено внимание вопросам реализации динамических моделей средствами современной вычислительной техники. В основе получения переходных процессов лежат алгоритмы численного интегрирования дифференциальных уравнений, некоторые из которых рассмотрены, приведены их сравнительные характеристики. В четвертой главе затронуты проблемы динамики развития и использования моделей на протяжении их жизненного цикла, алгоритмизации самого процесса моделирования и необходимости присутствия неформальной составляющей при создании моделей.

Рассмотренные в данном курсе модели используются, в частности, при проектировании систем управления, чему уделено внимание в разделах непосредственно следующей за данным курсом соответствующей дисциплины «Проектирование систем». Как правило, эти модели используются на нижних уровнях проектирования: на микроуровне превалирует использование распределенных моделей в виде дифференциальных уравнений в частных производных, на макроуровне – моделей в виде обыкновенных дифференциальных уравнений (непрерывно-детерминированные модели, или D -схемы), а также конечно-разностных уравнений, передаточных функций и частотных характеристик. Дальнейшее усложнение моделей соответствует усложнению рассматриваемых систем управления. На системном уровне проектирования обычно применяются аналитические вероятностныемодели систем массового обслуживания (непрерывно-стохастическиемодели, или Q -схемы), сети Петри (сетевые модели, или N -схемы) и т.п. Такие аналитические стохастические и сетевые модели рассмотрены в пятой главе.

Переход к сложным системам обусловливает применение методов имитационного моделирования (ИМ) и создания соответственно имитационных моделей, принципы построения и этапы развития которых систематически рассматриваются в шестой главе.

В седьмой главе приведены основные положения метода интеллектуального имитационного моделирования «Ресурсы-Действия-Операции» («РДО»), разработанного в МГТУ им. Н.Э.Баумана под руководством д.т.н., профессора В.В.Емельянова. Дано описание базовой структуры инструментальной программной среды, приведены примеры работы в интегрированной среде моделирования (ИСМ) программного комплекса «РДО». Данный программный комплекс позволяет создавать имитационные модели различного назначения, которые работают в единой программно-информационной среде; производить поиск на графе состояний в процессе имитации для нахождения оптимальных решений; осуществлять взаимодействие с внешними датчиками и другими имитационными моделями; производить анимацию процесса моделирования, автоматический сбор показателей, трассировку процесса; прогнозировать поведение моделируемого объекта с целью планирования, оценки вариантов решений, реинжиниринга. ИСМ РДО обладает перед аналогичными программными средствами преимуществами простоты и удобства, возможностью использования анимации и анализа результатов. На базе программного комплекса «РДО» предусмотрено выполнение курсовой работы по дисциплине «Моделирование систем».

В восьмой главе приводится краткое описание языка GPSS в качестве примера процессно-ориентированного языка ИМ, а также пример написанной на нем простой программы.

Девятая глава на основе теории планирования экспериментов дает понятие о подходе к планированию компьютерных экспериментов, в частности, экспериментов ИМ.

Десятая глава посвящена вопросам обработки и анализа результатов компьютерного моделирования сложных систем. Рассмотрены традиционные оценки статистических гипотез в соответствии с различными критериями согласия, а также математические основы корреляционного, регрессионного и дисперсионного анализа результатов моделирования.

Несколько слов необходимо сказать о структуре предлагаемого Вашему вниманию учебного пособия по курсу «Моделирование систем». Учебное пособие детально структурировано таким образом, что наименьшими структурными единицами являются смысловые фрагменты: фраза или абзац текста, рисунок, формула или таблица, – которые включены в поисковую систему электронной версии учебника. Фрагменты объединены в параграфы, соответствующие темам занятий, темы образуют разделы, которые, в свою очередь, входят в главы учебника. Бумажная версия учебника сохраняет эту иерархическую структуру, которая хотя и не позволяет осуществлять автоматический поиск, как в электронном варианте, но, тем не менее, оставляет возможность готовиться с ее помощью к контрольным компьютерным тестам, вопросы которых составлены, исходя именно из этой структуры. К каждому смысловому фрагменту учебника в тесты заложено от одного до трех вопросов. Таким образом, компьютерное тестирование, которое проводится в программной среде пакета «Тест Студио», позволяет проверить уровень достижений обучаемого по каждому фрагменту, теме занятия или разделу и дать объективные рекомендации по дальнейшей подготовке. Привязка содержания тестовых вопросов к учебному материалу и его структуре позволяет обучаемым гарантированно находить ответы на них в данном учебнике.

Поиск нужного параграфа или термина в бумажной версии учебника можно осуществлять с помощью традиционных средств – оглавления и предметного указателя.

Автор выражает искреннюю благодарность сотруднику кафедры «Автоматика, информатика и системы управления» МГИУ А.Н.Пестову за разностороннюю помощь при оформлении данного учебника.