Задача 3. 3а). Степень колеблемости признака определяется по значению коэффициента вариации Vsв соответствии с оценочной шкалой колеблемости признака:

3а). Степень колеблемости признака определяется по значению коэффициента вариации V _s в соответствии с оценочной шкалой колеблемости признака:

0%<V _s 40% - колеблемость незначительная;

40%< V _s 60% - колеблемость средняя (умеренная);

V _s >60% - колеблемость значительная.

Вывод:

Для признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов показатель V _s =………….. Так как значение показателя лежит в диапазоне ……………………….. оценочной шкалы, следовательно, колеблемость ………………………………..

Для признака Выпуск продукции показатель V _s =…………. Так как значение показателя лежит в диапазоне ……………………….. оценочной шкалы, следовательно, колеблемость ………………………………..

3б). Степень однородности совокупности по изучаемому признакудля нормального и близких к нормальному распределений устанавливается по значению коэффициента вариации V _s. Если V _s 33%, то по данному признаку расхождения между значениями признака невелико. Если при этом единицы наблюдения относятся к одному определенному типу, то изучаемая совокупность однородна.

Вывод:

Для признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов показатель , следовательно, по данному признаку выборочная совокупность …………………………..

Для признака Выпуск продукции показатель , следовательно, по данному признаку выборочная совокупность …………………………..

3в). Для оценки количества попаданий индивидуальных значений признаков x_i в тот или иной диапазон отклонения от средней , а также для выявления структуры рассеяния значений x_i по 3-м диапазонам формируется табл.9 (с конкретными числовыми значениями границ диапазонов).

Таблица 9

Распределение значений признака по диапазонам рассеяния признака относительно

	Границы диапазонов, млн. руб.	Количество значений xi, находящихся в диапазоне	Процентное соотношение рассеяния значений xi по диапазонам, %
	Первый признак	Второй признак	Первый признак	Второй признак	Первый признак	Второй признак
А
	[………….;………….]	[………….;……….]
	[………….;………….]	[………….;……….]
	[………….;………….]	[………….;……….]

На основе данных табл.9 структура рассеяния значений признака по трем диапазонам (графы 5 и 6) сопоставляется со структурой рассеяния по правилу «трех сигм», справедливому для нормальных и близких к нему распределений:

68,3% значений располагаются в диапазоне (),

95,4% значений располагаются в диапазоне (),

99,7% значений располагаются в диапазоне ().

Если полученная в табл. 9 структура рассеяния х_i по 3-м диапазонам незначительно расходится с правилом «трех сигм», можно предположить, что распределение единиц совокупности по данному признаку близко к нормальному.

Расхождение с правилом «трех сигм»может быть существенным. Например, менее 60% значений х_i попадают в центральный диапазон () или значительно более 5% значения х_i выходит за диапазон (). В этих случаях распределение нельзя считать близким к нормальному.

Вывод:

Сравнение данных графы 5 табл.9 с правилом «трех сигм» показывает на их незначительное (существенное) расхождение, следовательно, распределение единиц совокупности по признаку Среднегодовая стоимость основных производственных фондов можно (нельзя) считать близким к нормальному.

Сравнение данных графы 6 табл.9 с правилом «трех сигм» показывает на незначительное (существенное) расхождение, следовательно, распределение единиц совокупности по признаку Выпуск продукции можно (нельзя) считать близким к нормальному.

Задача 4. Для ответа на вопросы 4а) – 4в) необходимо воспользоваться табл.8 и сравнить величины показателей для двух признаков.

Для сравнения степени колеблемости значений изучаемых признаков, степени однородности совокупности по этим признакам, надежности их средних значений используются коэффициенты вариации V _s признаков.

Вывод:

Так как V _s для первого признака больше (меньше), чем V _s для второго признака, то колеблемость значений первого признака больше (меньше) колеблемости значений второго признака, совокупность более однородна по первому (второму) признаку, среднее значение первого признака является более (менее) надежным, чем у второго признака.

Задача 5. Интервальный вариационный ряд распределения единиц совокупности по признаку Среднегодовая стоимость основных производственных фондов представлен в табл.7, а его гистограмма и кумулята – на рис.2.

Возможность отнесения распределения признака «Среднегодовая стоимость основных производственных фондов» к семейству нормальных распределений устанавливается путем анализа формы гистограммы распределения. Анализируются количество вершин в гистограмме, ее асимметричность и выраженность «хвостов», т.е. частоты появления в распределении значений, выходящих за диапазон ( ).

1. При анализе формы гистограммы прежде всего следует оценить распределение вариантов признака по интервалам (группам). Если на гистограмме четко прослеживаются два-три «горба» частот вариантов, это говорит о том, что значения признака концентрируются сразу в нескольких интервалах, что не соответствует нормальному закону распределения.

Если гистограмма имеет одновершинную форму, есть основания предполагать, что выборочная совокупность может иметь характер распределения, близкий к нормальному.

2. Для дальнейшего анализа формы распределения используются описательные параметры выборки – показатели центра распределения (, Mo, Me) и вариации (). Совокупность этих показателей позволяет дать качественную оценку близости эмпирических данных к нормальной форме распределения.

Нормальное распределение является симметричным, и для него выполняются соотношения:

=Mo=Me

Нарушение этих соотношений свидетельствует о наличии асимметрии распределения. Распределения с небольшой или умеренной асимметрией в большинстве случаев относятся к нормальному типу.

3. Для анализа длины «хвостов» распределения используется правило «трех сигм». Согласно этому правилу в нормальном и близким к нему распределениях крайние значения признака (близкие к хmin и хmax) встречаются много реже (5-7 % всех случаев), чем лежащие в диапазоне (). Следовательно, по проценту выхода значений признака за пределы диапазона ( ) можно судить о соответствии длины «хвостов» распределения нормальному закону.

Вывод:

1.Гистограмма является одновершинной (многовершинной).

2. Распределение приблизительно симметрично (существенно асимметрично), так как параметры , Mo, Me отличаются незначительно (значительно):

=.............., Mo=.............., Me=..............

3. “Хвосты” распределения не очень длинны (являются длинными), т.к. согласно графе 5 табл.9…..……% вариантов лежат за пределами интервала ()=(………………;…………….) млн. руб.

Следовательно, на основании п.п. 1,2,3, можно (нельзя) сделать заключение о близости изучаемого распределения к нормальному.

II. Статистический анализ генеральной совокупности

Задача 1. Рассчитанные в табл.3 генеральные показатели представлены в табл.10.

Таблица 10

Описательные статистики генеральной совокупности

Обобщающие статистические показатели совокупности по изучаемым признакам	Признаки
Среднегодовая стоимость основных производственных фондов	Выпуск продукции
Стандартное отклонение , млн. руб.
Дисперсия
Асимметричность As
Эксцесс Ek

Для нормального распределения справедливо равенство

R_N=6 s _N.

В условиях близости распределения единиц генеральной совокупности к нормальному это соотношение используется для прогнозной оценки размаха вариации признака в генеральной совокупности.

= ………………..

2. Предельная ошибка выборки определяет границы, в пределах которых лежит генеральная средняя . Эти границы задают так называемый доверительный интервал генеральной средней – случайную область значений, которая с вероятностью P, близкой к 1, гарантированно содержит значение генеральной средней. Эту вероятность называют доверительной вероятностью или уровнем надежности.

Для уровней надежности P=0,954; P=0,683 оценки предельных ошибок выборки даны в табл. 3 и табл. 4.

Для генеральной средней предельные значения и доверительные интервалы определяются выражениями:

,

Предельные ошибки выборки и ожидаемые границы для генеральных средних представлены в табл. 11.

Таблица 11

Предельные ошибки выборки и ожидаемые границы для генеральных средних

Доверительная вероятность Р	Коэффи-циент доверия t	Предельные ошибки выборки, млн. руб.	Ожидаемые границы для средних , млн. руб.
для первого признака	для второго признака	для первого признака	для второго признака
0,683
0,954

Вывод:

Увеличение уровня надежности ведет к расширению (сужению) ожидаемых границ для генеральных средних.

Задача 3. Рассчитанныев табл.3значения коэффициентов асимметрии As и эксцесса Ek даны в табл.10.

1.Показатель асимметрии As оценивает смещение ряда распределения влево или вправо по отношению к оси симметрии нормального распределения.

Если асимметрия правосторонняя (As >0) то правая часть эмпирической кривой оказывается длиннее левой, т.е. имеет место неравенство > Me>Mo, что означает преимущественное появление в распределении более высоких значений признака (среднее значение больше серединного Me и модального Mo).

Если асимметрия левосторонняя (As <0), то левая часть эмпирической кривой оказывается длиннее правой и выполняется неравенство < Me<Mo, означающее, что в распределении чаще встречаются более низкие значения признака (среднее значение меньше серединного Me и модального Mo).

Чем больше величина | As |, тем более асимметрично распределение. Оценочная шкала асимметрии:

| As | 0,25 - асимметрия незначительная;

0,25<| As | 0,5 - асимметрия заметная (умеренная);

| As |>0,5 - асимметрия существенная.

Вывод:

Для признака Среднегодовая стоимость основных производственных фондов наблюдается незначительная (заметная, существенная)левосторонняя (правосторонняя) асимметрия. Следовательно, в распределении преобладают …………………………………………………………………………………………

Для признака Выпуск продукции наблюдается незначительная (заметная, существенная)левосторонняя (правосторонняя) асимметрия. Следовательно, в распределении преобладают ……………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………

2.Показатель эксцесса Ek характеризует крутизну кривой распределения - ее заостренность или пологость по сравнению с нормальной кривой.

Как правило, коэффициент эксцесса вычисляется только для симметричных или близких к ним распределений.

Если Ek >0, то вершина кривой распределения располагается выше вершины нормальной кривой, а форма кривой является более островершинной, чем нормальная. Это говорит о скоплении значений признака в центральной зоне ряда распределения, т.е. о преимущественном появлении в данных значений, близких к средней величине.

Если Ek <0, то вершина кривой распределения лежит ниже вершины нормальной кривой, а форма кривой более пологая по сравнению с нормальной. Это означает, что значения признака не концентрируются в центральной части ряда, а рассеяны по всему диапазону от xmax до xmin.

Для нормального распределения Ek =0. Чем больше абсолютная величина | Ek |, тем существеннее распределение отличается от нормального.

При незначительном отклонении Ek от нуля форма кривой эмпирического распределения незначительно отличается от формы нормального распределения.