Амплітуди складових ряду Фур’є періодичної послідовності прямокутних імпульсів

Гармоніка	Частота	Амплітуда , при
			0,25
		1,27	0,48
			0,45
		0,42	0,39
			0,32
		0,25	0,23
			0,15
		0,18	0,07
		0.09	0,06

Зі збільшенням щілинності сиг­налу зростає число спектральних складових та зменшується їх амплітуда. Тому кажуть, що такий сигнал має багатий спектр.

Слід зазначити, що для більшості сигналів, що використовуються в елек­трозв'язку, немає необхідності провадити розрахунки амплітуд і фаз гармо­нік за наведеними раніше формулами. У математичних довідниках є таблиці розкладання сигналів у ряд Фур'є. Одна з таких таблиць наведена в табл. Д2.

Часто виникає запитання: скільки ж спектральних складових (гармонік) необхідно взяти, щоб представити реальний сигнал рядом Фур'є? Адже ж ряд, строго кажучи, нескінченний. Певної відповіді тут дати неможливо. Все залежить від форми сигналу і похибки його представлення рядом Фур'є. Більш плавні зміни сигналу - менше необхідно гармонік. Якщо сигнал має стрибки (розриви), то необхідно підсумовувати більше число гармонік для забезпечення такої ж похибки. Але для багатьох випадків, наприклад у телеграфії, вважають, що і для передавання прямокутних імпульсів із крути­ми фронтами досить трьох гармонік.

2.3. СПЕКТРАЛЬНЕ ПОДАННЯ НЕПЕРІОДИЧНИХ СИГНАЛІВ

Інтегральні перетворення Фур'є. Для спектрального подання неперіодичних (імпульсних) сигналів u(t), які надано на скінченному інтервалі (t₁, t₂) (рис. 2.8), безпосередньо скористатись рядом Фур'є неможливо, через те, що імпульсний сигнал є періодичним. Але і в цьому випадку для гармонічного розкладання сигналу можна скористатись такою процедурою. Спочатку доповнюємо імпульсний сигнал до періодичного з будь-яким періодом Т, що містить у собі проміжок (t₁, t₂). Одержаний при цьому періодичний сигнал u_пер(t) розкладаємо в ряд Фур'є. Потім здійснюємо граничний перехід від u_пер(t) до u(t), Для чого спрямуємо період Т до безмежності.

Рис. 2.8. Імпульсний сигнал та його періодичне продовження u_пер(t+nT)

При такому граничному переході основна частота сигналу прямує до нуля, нескінченно збільшується число спектральних складових, частоти сусідніх гармонік і зближаються настільки, що спектр буде суцільний. Для розрахунку спектра такого неперіодичного сигналу більш за все підходить симетрична комплексна форма запису ряду Фур'є (2.8), але в ній замість суми буде інтеграл із безмежними границями. Тоді формули (2.8) і (2.9) запишуться у вигляді

(2.11)

де

(2.12)

Формули (2.11) і (2.12) називають відповідно оберненим та пряміш інтегральними перетвореннями Фур’є. Вони показують фундаментальну взаємозалежність між сигналом та його комплексною спектральною густиною

.

Властивості комплексної спектральної густини. За аналогією з комплексними коефіцієнтами ряду Фур'є (2.9) комплексна спектральна густина

,

де - модуль , який називають спектральною густиною амплітуд, або амплітудним спектром; - аргумент , який називають фазовим спектром неперіодичного сигналу.

2.2.Властивості перетворення Фур'є

Властивості	Математичний опис
імпульсного сигналу	комплексної спектральної густини
Лінійність
Зміна масштабу функції
Зміна масштабу аргументу
Затримка за часом
Помноження на гармонічну функцію
Помноження па експоненту

За визначенням модуля й аргументу: - парна функція частоти, - непарна функція частоти. Деякі інші властивості комплексної спектральної густини наведено в табл. 2.2. їх доказ можна знайти в будь-якому підручнику з теорії електричних кіл.

Фізична суть спектральної густини амплітуд. З порівняння виразів (2.12) і (2.9) випливає, що амплітуда п — 1-ї гармоніки

(2.13)

тобто спектральна густина амплітуд неперервного сигналу і обвідна дискретного спектра періодичного сигналу, який одержано повторенням сигналу , збігаються за формою і відрізняються тільки масштабом. Якщо у виразі (2.13) спрямувати Т до безмежності, тобто здійснити граничний перехід, то одержимо

Таким чином, спектральна густина амплітуд неперіодичного сигналу на будь-якій частоті дорівнює сумарній амплітуді спектральних складових, що попадають у маленьку смужку частот біля частоти і яка перерахована до смуги 1 Гц.