Способ вспомогательных секущих сфер

Возможность применения сферических поверхностей в качестве посредников для построения линий пересечения основывается на том, что сферическая поверхность со всякой поверхностью вращения, ось которой проходит через центр сферы, пересекается по окружности. Если при этом ось поверхности вращения перпендикулярна одной из плоскостей проекций, то эта окружность на одну из плоскостей проекций будет проецироваться в виде отрезка прямой, а на другую в истинном виде – окружностью. На рис. 8.4 показаны примеры пересечения сферической поверхности с соосными поверхностями вращения – цилиндрической, конической и двумя с криволинейной образующей – выпуклой и вогнутой.

Рис. 8.4

Для того, чтобы построение линии пересечения кривых поверхностей можно было выполнить при помощи вспомогательных сферических поверхностей, необходимо наличие следующих условий:

- пересекающиеся поверхности должны быть поверхностями вращения;

- оси поверхностей должны пересекаться;

- плоскость, определяемая пересекающимися осями поверхностей, должна быть параллельна плоскости проекций.

Рассмотрим пример построения линии пересечения кривых поверхностей при помощи сферических поверхностей.

На рис. 8.5 показано построение линии пересечения двух конусов, у которых оси пересекаются.

Отметим, прежде всего, очевидные точки линии пересечения – 1, 2, 3 и 4, горизонтальные проекции которых определяются по их фронтальным проекциям.

Радиусы сферических поверхностей, при помощи которых находим остальные точки линии пересечения, надлежит изменять в следующих пределах.

Радиус наибольшей сферической поверхности должен быть несколько меньше расстояния точки О" от наиболее удаленной точки из четырех 1¢¢, 2¢¢, 3¢¢ и 4¢¢, в которых пересекаются очерковые образующие фронтальных проекций данных поверхностей.

Радиус наименьшей сферической поверхности должен быть равен расстоянию от точки О" до наиболее удаленной очерковой образующей данных поверхностей, чтобы одной из них сферическая поверхность касалась (была бы в нее вписана), а другую пересекала.

Построение линии пересечения целесообразно начинать с проведения именно меньшей сферической поверхности.

Сферическая поверхность, вписанная в вертикальный конус, касается его поверхности по окружности, которая на плоскость проекций p₂ проецируется в виде отрезка а ¢¢, а на плоскость проекций p₁ в истинном виде – окружностью а ¢, а поверхность горизонтального конуса эта сферическая поверхность пересекает по окружностям, которые на обе плоскости проекции проецируются в виде отрезков b и с.

Рис. 8.5

Пересечение а ¢¢ с b ¢¢ и c ¢¢ на плоскости проекций p₂ определяет фронтальные проекции 5² и 6² точек линии пересечения ближайших к оси вертикального конуса, а пересечение окружности а ¢ c b ¢ и c ¢ на плоскости проекций p₁ определяет горизонтальные проекции тех же точек.

Характерными точками линии пересечения являются также точки 7 и 8 на передней и задней образующих горизонтального конуса – их горизонтальные проекции являются границами видимости линии пересечения на плоскости проекций p₁.

Для нахождения этих точек необходимо провести сферическую поверхность диаметра d, которая пересечет горизонтальный конус по окружностям, проецирующимся на плоскости проекций p₂ и p₁ в виде отрезков e и f. В пересечении d ¢¢ с e ¢¢ и f ¢¢ на плоскости проекций p₂ получаем точки 7" и 8¢¢, а пересечение e ¢ и d ¢ с очерковыми образующими горизонтальной проекции горизонтального конуса определяет точки 7¢ и 8¢.

Та же сферическая поверхность диаметра d определяет для линии пересечения точки 9 и 10.

Третья сферическая поверхность наибольшего радиуса определяет для линии пересечения точки 11 и 12.

Как видно из рис. 8.5, линия пересечения состоит из двух замкнутых пространственных кривых.

Видимыми сверху будут те части кривых, которые принадлежат верхней половине поверхности горизонтального конуса, то есть части 7¢ - 5¢ - 9¢ - 1¢ - 9¢ - 5¢ - ¢7 и 8¢ - 6¢ - 10¢ - 3¢ - 10¢ - 6¢ - 8¢.