Взаимное пересечения поверхностей

Все случаи пересечения поверхностей можно свести к следующему:

- частный случай. Одна из пересекающихся поверхностей является проецирующей (цилиндр, призма). Линия пересечения на одном из видов совпадает с линей - проекцией проецирующей поверхности;

- общий случай. Ни одна из пересекающихся поверхностей не является поверхностью проецирующей. Линия пересечения не определена ни на одном из видов;

- особый случай. Линия пересечения распадается на две плоские кривые.

8.1. Построение линии пересечения двух поверхностей
в частном случае

Если одна из пересекающихся поверхностей проецирующая, то задача построения линии пересечения двух поверхностей упрощается и сводится к построению недостающих проекций кривой линии на одной из поверхностей по одной заданной проекцией линии. На рис. 8.1 горизонтальная проекция линии пересечения сферы и призмы совпадает с горизонтальной проекцией призмы. Фронтальная проекция линии пересечения построена по принадлежности сфере с помощью параллелей сферы.

Рис. 8.1

На рис. 8.1 показано построение характерных точек эллипса грани аb. Центр его О ² является фронтальной проекцией основания перпендикуляра, опущенного из центра сферы на плоскость грани ab. Большая ось (1² - 2² ) – вертикальна и равна диаметру окружности. Точки 1 и 2 являются также высшей и низшей точками окружности. Малая ось 3 - 4 совпадает с проекцией экватора, причем точки 3 и 4 очевидны. Также очевидны точки 5и 6, лежащие на главном меридиане. Точки 7 и 8, лежащие на ребре b призмы, найдены с помощью параллели k. Отрезок эллипса 7 - 4 - 8 находится за пределами грани аb и показан вследствие этого тонкой линией.

Аналогично строится линия пересечения грани bc.

Построение окружности грани ас очевидно.

На фронтальной проекции часть эллипса от точки 5 до точки 7и от точки 8 до точки 6 грани ab (передней), находящейся на передней половине сферы, видна. Часть эллипса 5-3-6, расположенная на задней половине сферы, не видна. Аналогичная видимость эллипса другой передней грани – bc. Окруж­ность, лежащая на задней грани ac призмы, полностью не видна.

На рис. 8.2 показано построение линии пересечения цилиндра и полусферы. Горизонтальная проекция линии пересечения совпадает с очерком горизонтальной проекции цилиндра.

Рис. 8.2

Очевидными точками линии пересечения являются точки 1 и 2, в которых главный меридиан сферической поверхности пересекается с поверхностью цилиндра.

Для построения характерных точек линии пересечения используются параллели сферы.

Низшая и высшая точки линии пересечения 5 и 6 находятся на тех образующих цилиндра, которые лежат на линии центров О ₁ – О ₂.

Плавная кривая, соединяющая все найденные точки, представит фронтальную проекцию линии пересечения.

8.2. Построение линии пересечения двух поверхностей
в общем случае

Построение линии взаимного пересечения поверхностей заключается в следующем:

- проводят несколько вспомогательных поверхностей, пересекающих данные поверхности;

- строят линии, по которым вспомогательные поверхности пересекают каждую из данных поверхностей;

- находят точки, в которых построенные линии пересекаются между собою;

- соединяют найденные точки в правильной последовательности и получают линию, по которой данные поверхности пересекаются между собою.

В качестве вспомогательных поверхностей – поверхностей-посредников – могут применяться плоскости и кривые поверхности-цилиндрические, конические, сферические. Чаще других поверхностями-посредниками являются плоскости частных и общего положений, а также сферические поверхности.

Вспомогательные поверхности подбираются так, чтобы они пересекали данные поверхности по простым для построения линиям – прямым и окружностям.

Приступая к построению линии пересечения, прежде всего, выявляют ее так называемые очевидные, иначе явные точки, то есть точки, которые для своего нахождения не требуют каких-либо построений и усматриваются непосредственно из задания.

В следующую очередь находят особые, характерные, иначе опорные точки линии пересечения. К таким точкам относятся точки, лежащие на очерках проекций данных поверхностей, то есть точки, отделяющие видимую часть линии перехода от невидимой, крайние точки – правая, левая, высшая и низшая, точки – ближайшая к наблюдателю и наиболее удаленная от него.

Наконец, в последнюю очередь, находят все остальные точки линии пересечения, которые называются промежуточными или случайными. Эти точки определяются в тех участках искомой кривой, где она недостаточно выявлена ранее построенными точками.