Особые случаи пересечения поверхностей второго порядка

В случае пересечения двух поверхностей второго порядка линией пересечения является кривая четвертого порядка, так как порядок линии пересечения равен произведению порядков поверхностей. В частных случаях эта линия может распадаться, причем особый интерес представляет случай ее распадения на пару плоских кривых второго порядка. Справедлива следующая теорема.

Теорема. Если две поверхности второго порядка пересекаются по одной плоской кривой, то они пересекаются и еще по одной кривой, которая тоже является плоской.

Заметим, что всякая плоская кривая на поверхности второго порядка есть кривая второго порядка, и тогда справедливость данной теоремы непосредственно вытекает из того обстоятельства, в силу которого сумма порядков линий, на которые распадается алгебраическая кривая, равна порядку самой линии. В данном случае имеем кривую четвертого порядка и известно, что одна ее часть есть кривая второго порядка. Следовательно, и вторая часть тоже будет кривой второго порядка, т.е. плоской кривой.

Рассмотрим теорему, известную как теорема Г.Монжа, имеющую большое практическое значение.

Теорема. Если две поверхности второго порядка описаны около третьей или вписаны в нее, то они пересекаются по двум плоским кривым. Плоскости этих кривых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания.

Рассмотрим несколько примеров. На рис.13.6 изображены фронтальные проекции пересекающихся круговых цилиндров, удовлетворяющих условию последней теоремы. Линиями пересечения таких цилиндров будут эллипсы, фронтальные проекции которых изображаются прямыми A₂С₂ и B₂D₂. На рис.13.7 показано пересечение прямых круговых конуса и цилиндра, описанных около сферы. Линиями пересечения и здесь будут два эллипса, изображающихся во фронтальной проекции прямыми A₂С₂ и B₂D₂.

Рис.13.6 Рис.13.7