Способ вспомогательных секущих плоскостей

Этот способ применяют для построения точек линии пересечения двух поверхностей тогда, когда вспомогательные плоскости, рассекающие данные поверхности, дают в пересечении с каждой из них графически простые линии, такие как прямые или окружности. Чаще всего в качестве вспомогательных секущих плоскостей используют проецирующие плоскости или плоскости уровня.

Среди точек линии пересечения двух поверхностей имеются такие точки, которые выделяются своим особым расположением или по отношению к плоскостям проекций или занимают особые места на кривой. Например, самая близкая и самая удаленная точки относительно той или иной плоскости проекций (экстремальные точки); точки, расположенные на крайних образующих некоторых поверхностей, – так называемые точки видимости, имеющие проекции на линиях очертания, точки наибольшей ширины кривой и т.д. Такие точки называются опорными. Оказывается, что даже в одной задаче на построение линии пересечения поверхностей каждую опорную точку могут находить своим приемом построения без применения вспомогательных секущих плоскостей. Остальные точки линии пересечения называются произвольными или случайными, и находят их с помощью одного и того же приема, который заключается в проведении вспомогательных секущих плоскостей и который является основным для решения рассматриваемой задачи.

Построение линии пересечения поверхностей нужно начинать с отыскания опорных точек и лишь, затем переходить к нахождению произвольных точек.

Сущность способа вспомогательных секущих плоскостей рассмотрим на примере построения линии пересечения прямого кругового конуса Φ со сферой Θ (рис.13.2).

Линию пересечения поверхностей начнём строить с отыскания опорных точек. Заметим, что у обеих поверхностей имеется общая плоскость симметрии, которая является фронтальной плоскостью уровня. В этой плоскости лежат главные меридианы данных поверхностей (окружность у сферы и треугольник у конуса), а значит, они будут пересекаться между собой. Точки их пересечения являются самой верхней (точка А) и самой нижней (точка В) точками линии пересечения. Для нахождения остальных точек линии пересечения необходимо проводить вспомогательные плоскости. В данном случае лучше всего воспользоваться горизонтальными плоскостями уровня. Такие плоскости будут пересекать и конус, и сферу по окружностям. Причем эти окружности на плоскость П₁ будут проецироваться без искажения в натуральную величину.

Рис.13.2

Алгоритм решения задачи следующий.

1. Проводится вспомогательная горизонтальная плоскость уровня, например, Σ¹.

2. Строятся окружности пересечения вспомогательной плоскости со сферой и конусом: m = Σ¹ÇΘ, n = Σ¹ÇΦ. На фронтальную плоскость проекций П₂ эти окружности проецируются в виде отрезков прямых, лежащих внутри очерков сферы и конуса. На плоскость П₁ окружности пересечения проецируются без искажения.

3. На плоскости проекций П₁ находятся горизонтальные проекции точек С₁ и D₁ пересечения построенных окружностей: C,D=mÇn. Фронтальные проекции этих точек располагаются на фронтальной проекции вспомогательной плоскости Σ¹₂.

Для нахождения других точек линии пересечения нужно ещё провести вспомогательные плоскости Σ², Σ³,Σ⁴. Одну из этих плоскостей необходимо провести через экватор сферы. Найденные при этом точки E и F будут являться границей видимости для горизонтальной проекции линии пересечения поверхностей. Все точки линии пересечения, которые лежат выше этих точек, на П₁ будут видимыми, а точки, которые лежат ниже точек E и F, на П₁ будут невидимыми. Границей видимости линии пересечения для фронтальной плоскости проекций будет являться плоскость главных меридианов поверхностей: все точки, лежащие перед ней, будут видимыми, а точки, лежащие за плоскостью, – невидимыми.

Найденные точки необходимо соединить плавной линией по лекалу с учетом видимости. Линия, получившаяся на П₁, называется кардиоидой, а на П₂ – параболой.