состояний для исследования процессов в электрической цепи

В электрических цепях в качестве переменных состояния принято рассматривать мгновенные значения напряжений на емкостях и токов через индуктивности. Это обусловлено тем, что мгновенные значения напряжений на емкостях и токов через индуктивности удовлетворяют следующим требованиям:

− полностью определяют состояние цепи в любой момент времени;

− являются линейно-независимыми;

− однозначно определяют запас энергии в цепи;

− по ним могут быть определены любые другие токи и напряжения.

Правило 1. Количество переменных состояния системы равно количеству реактивных элементов в цепи.

Правило 2. Токи тех ветвей цепи, которые не содержат реактивных элементов, не должны входить в систему уравнений состояния, их следует исключать.

ПРИМЕР 4. 1. Рассмотрим электрическую цепь третьего порядка (рис. 4.3). В качестве переменных состояния примем:

(4.32)

Следовательно, вектор состояния

(4.33)

Согласно законам Кирхгофа

(4.34)

Исключим все неизвестные, не являющиеся переменными состояния. Для этого ток i₂ выразим через :

(4.35)

и сделаем подстановку выражения (4.35) в систему (4.34):

(4.36)

Приведем систему уравнений (4.36) к форме Коши (к нормальной форме). Уравнения запишем в порядке, соответствующем индексу переменных состояния:

(4.37)

или в векторно-матричной форме при заданных начальных условиях

(4.38)

где

u(t) = e;

Уравнение (4.38) решается любым численным методом.

В большинстве задач невозможно получить сразу готовую систему уравнений состояния, так как в каждом уравнении присутствуют производные нескольких переменных состояния и обычным путем они не разделяются. В таких задачах предлагается поступить следующим образом. Производные переменных состояния принимают за искомые величины x₁, x₂, x₃,..., x_n. Остальные члены уравнений принимают за свободные члены. В результате исходная система решается как обычная система линейных алгебраических уравнений соответствующим методом решения СЛАУ.

Date: 2015-05-23; view: 453; Нарушение авторских прав