Математическое описание большой системы

Одна из задач исследования систем состоит в построении приближенных зависимостей между различными показателями, описывающими конкретную систему, в целях прогнозирования их состояния, имитации различных вариантов развития системы, поддержки принятия управленческих решений и т.д. Зависимость между показателями, характеризующими состояние системы, может быть представлена в виде

y=F(x_{1, …,} x_n), (1)

где y,x_{1, …,} x_n - показатели, описывающие систему;

F - реальная зависимость между показателями.

Между показателями часто существует функциональная связь, слишком сложная для понимания или описания в простых терминах. В таком случае можно подобрать аппроксимацию этой функциональной связи с помощью какой-нибудь простой математической функции (например, полином), которая включает подходящие переменные, и сглаживать или аппроксимировать «истинную» функцию в определенной ограниченной области изменения этих переменных.

Обычно для построения моделей систем, приближенно описывающих реальные зависимости, используется алгебраический многочлен некоторой степени от многих переменных. Для построения адекватных моделей необходимо, чтобы число исходных данных превышало число коэффициентов модели, что предполагает наличие достаточно больших по времени выборок исходных данных. При этом зависимость между показателями должна оставаться неизменной или меняться незначительно на всем временном интервале, на котором определяются коэффициенты модели.

Использование алгебраических многочленов в качестве моделей систем обладает определенными недостатками, следующими непосредственно из аналитического вида алгебраического многочлена:

1. Одной из характерных особенностей рассматриваемых систем является большое количество показателей, поэтому для увеличения адекватности модели необходимо увеличивать число переменных модели и степень алгебраического многочлена. Включение в модель все большего числа переменных увеличивает адекватность описания моделируемого процесса. Но при этом значительно увеличивается число членов в приближенных зависимостях, так как появляются новые члены многочлена, представляющие собой различные сочетания переменных модели в некоторой степени. Это приводит к значительному увеличению числа коэффициентов, подлежащих определению, поскольку для каждого члена алгебраического многочлена требуется свой коэффициент. Это, в свою очередь, требует увеличения количества исходных данных, необходимых для надежного оценивания коэффициентов, что часто невыполним.

Поэтому при построении приближенных моделей реальных систем стремятся к достижению компромисса между адекватностью модели и имеющимся количеством исходных данных, что приводит к требованию использовать в модели как можно меньшее число переменных;

2. Другая характерная особенность рассматриваемых объектов состоит в большой изменчивости их структуры. В процессе нормального функционирования различных объектов - города, региона, страны, - возникают новые предприятия, образуются новые экономические связи между предприятиями, изменяется социальный состав населения, изменяется состояние окружающей среды и т.д. При этом величина временного интервала, на котором зависимость между показателями меняется незначительно, ограничена. Тем самым уменьшается число исходных данных, которые можно корректно использовать для построения моделей систем. Уменьшение количества имеющихся исходных требует уменьшения числа показателей включаемых в модель, что уменьшает адекватность модели.

3. Построение моделей систем в виде алгебраических многочленов основано на предположении независимости переменных системы. Это требование вытекает из аналитического вида алгебраического многочлена в котором переменные являются независимыми. Для реальных социально-экономических, экологических объектов это требование не выполняется. В реальной жизни все переменные изменяются обычно одновременно, т.е. они связаны между собой системой зависимостей.

При традиционном подходе к построению приближенных зависимостей ослабить или даже «обойти» перечисленные требования невозможно.

Во многих случаях построение моделей систем осуществляется в условиях ограниченной возможности целенаправленного пополнения статистических (экспериментальных) данных, на основе которых должна быть идентифицирована математическая модель. В свою очередь малые объемы исходной статистики - причина использования весьма примитивных модельных конструкций.

Актуальной задачей, является нахождение таких приемов обработки ограниченных массивов числовых данных, которые позволили бы преодолеть упрощенность модельных построений, вытекающую из традиционно используемых методов.

Многие трудности построения моделей систем в значительной степени связаны с аналитическим видом приближенных моделей. Поэтому возникает задача поиска новых аналитических видов приближенных зависимостей, свободных от указанных выше недостатков.

Построение приближенных моделей основано на методе «черного ящика», когда в качестве модели реального объекта используется некоторая зависимость между показателями, характеризующими систему. При этом структура этого «черного ящика» считается неизвестной.

Это не является в достаточной мере правильным. Эта зависимость была бы «черным ящиком» только в том случае, если бы использовался только заданный набор числовых значений зависимых и независимых экспериментально определенных величин. Но, как только для описания зависимости между заданными величинами, описывающими систему, используется алгебраический многочлен, то тем самым вводится, постулируется некоторая структура этого «черного ящика». Таким образом, в действительности в качестве модели реального объекта используется некоторый математический объект со вполне определенной структуры, которая может в той или иной степени соответствовать или не соответствовать структуре реального объекта. Поэтому использование алгебраических многочленов в качестве моделей систем только на том основании, что они содержат набор переменных, который можно сопоставить набору показателей реального объекта, достаточно произволен.

В основу подхода к построению нового аналитического вида приближенной зависимости положим тот очевидный факт, что имеющаяся исходная информация используется не полностью. Показатели, описывающие состояние объектов, взаимосвязаны между собой различными зависимостями. Эти взаимозависимости заданы неявно экспериментально полученными сочетаниями численных значений показателей, описывающих систему. Использование же показателей в качестве независимых друг от друга переменных не учитывает совместность существования численных значений показателей, что приводит к потере существенной части информации, содержащейся в исходных данных.

Поэтому для более полного использования имеющейся информации в качестве приближенной модели необходимо использовать такие аналитические выражения, которые учитывают совместное изменение показателей системы.

В качестве одного из подходов к решению поставленной задачи будем использовать в качестве приближенной зависимости выражение вида:

y=a₀+a₁*f₁(x)+…a_m*f_m(x), (2)

где x=(x_{1, …,} x_n) - вектор показателей системы,

a₀, a_1,…, a_m - коэффициенты модели,

f₁(x), …,f_m(x) - некоторые функции.

Построение приближенной зависимости имеет значительные преимущества по сравнению с построением приближенной зависимости в виде алгебраического многочлена:

1. Коэффициенты модели относятся не к отдельным показателям, а ко всему вектору показателей. Поэтому их количество уменьшается по сравнению с количеством коэффициентов алгебраического многочлена многих переменных;

2. Вследствие уменьшения количества коэффициентов модели значительно уменьшается количество исходной информации, необходимой для определения коэффициентов модели;

3. Более полно используется информация, содержащаяся в исходных данных, т.к. все показатели используются совместно;

4. Отсутствует искусственное требование независимости переменных модели.