Свойства операции транспонирования матриц

1.

2.

3.

Доказательство свойств 1−3 осуществляется прямыми вычислениями (самостоятельно).

4. справедливо

Доказательство:

Легко видеть, что .

Пусть – элемент матрицы ,стоящий в –й строке и –том столбце ,где – элемент –ой строки и –того столбца матрицы

, где

Но , , где и – элементы и , соответственно => , где последняя сумма – произведение элементов –ой строки на –ой столбец ,те – элемент (что и требовалсоь доказать).

5.

Определение 4. Если квадратная , то называется симметричной, тогда , если т.е. , то – называется кососимметричной (антисимметричной).

Свойство 1. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы, т.е.

Доказательство: Пусть , , т.к. и имеют одинаковое количество членов , то достаточно показать, что член является членом и наоборот.

Все члены имеют вид: и составлены из членов, находящихся в разных строках и столбцах этот же член является членом . Верно и обратное члены определителя одни и те же, осталось разобраться со знаками.

Знак равен . Этот член входит в как и имеет знак (см. свойство 2 перестановок) т.к. определители и являются суммами одинаковых членов с одинаковыми знаками (что и требовалось доказать).

Следствие: Всякая теорема об определителе остается справедливой, если слово строка заменить на слово столбец и наоборот.

Свойство 2. Если одна из строк определителя состоит из 0,то определитель равен нулю.

Доказательство: На самом деле, пусть –я строка нулевая,тк в каждый член определителя входит один её элемент все члены нулевые (что и требовалось доказать).

Свойство 3. Если матрица получена из перестановкой каких–либо двух строк, то

Доказательство: Пусть , –строки

Если входит в , то все его члены и в остаются в разных столбцах и строках он входит и в . Для знак , а в надо считать знак перестановки эта перестановка получается из транспозицией в верхней строке она имеет противоположную четность, т.е. все члены входят в с противоположным знаком (что и требовалось доказать).

Свойство 4. Определитель,содержащий две одинаковые строки,равен нулю

Доказательство: Пусть в и –строки равны после их перестановки определитель равен , но т.к. переставлены одинаковые строки он тот же самый .

Свойство 5. Если получена из умножением некоторой строки на , то .

Доказательство:

Свойство 6. Если содержит две пропорциональные строки, то .

Доказательство: Пусть –я строка равна –строка можно вынести из –й строки (свойство 5) по свойству 4 (что и требовалось доказать).

Свойство 7. Если все элементы –ой строки матрицы представлены в виде двух слагаемых: , то , где , имеют все строки, кроме –ой, как в , а –ая строка состоит из , а – из , т.е.

Доказательство:

(что и требовалось доказать).

Следствие: Тоже самое, когда , т.е. сумма слагаемых.

Свойство 8. Если одна из строк определители есть линейная комбинация его других строк, то определитель равен нулю.

Доказательство: Если –ая строка, есть линейная комбинация остальных строк , то элемент –ой строки – сумма элементов по следствию к свойству 7 определитель можно представить как сумму определителей, в каждом из которых –ая строка пропорциональна одной из строк они равны (что и требовалось доказать).

Свойство 9. Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и тоже число.

Доказательство: Если к –ой строке прибавляется –ая строка, умноженная на , то в новом определители –ая строка равна . Тогда на основании 7 этот определитель – это сумма двух определителей, один из которых равен , а второй содержит две пропорциональные строки равен (что и требовалось доказать).

Следствие: Определитель не менятся,если к одной его строке добавляется линейная комбинация других строк.

3⁰.Миноры и алгебраические дополнения.

Пусть . Выберем номеров строк и номеров столбцов .

Определение 5. Минором порядка матрицы называется определитель матрицы порядка , образованной элементами, находящимися на пересечении выбранных строк и столбцов.

Обозначение:

Примеры: , ,

Определени 6. Если – квадратная порядка , то каждому минору порядка можно поставить в соответствие дополнительный минор порядка , элементы которого расположены на пересечении остальных строк и столбцов. Очевидно, что минор будет в свою очередь дополнительным к .

Алгебраическими дополнениями минора называется произведение дополнительного минора на

Если .

Пример:

Теорема 1 (о разложении определителя).

Если и , то равен сумме произведений элементов любой строки матрицы на их алгебраические дополнения, т.е. .

Доказательство: Пусть

. Тогда, выбрав –ую строку, определитель можно представить как сумму:

, где i-я строка

Покажем, что . Переставляя раз столбцы и раз строки, получим:

Лемма 1:

Доказательство: .

Рассмотрим . Очевидно, что так что число инверсий в и одно и тоже и значит (что и требовалось доказать).

Вернемся к доказательству теоремы:

(что и требовалось доказать).

Следствие (разложение по чужой строке).

Сумма произведений всех элементов какой–нибудь строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю.

Доказательство: Пусть . Рассмотрим матрицу , получающуюся из заменой –ой строки на –ю, оставляя –ю прежней . Напишем разложение по –ой строке: т.к. алгебраические дополнения к элементам –ой строки у матрицы и совпадают (что и требовалось доказать).

Пример:

1) =

Следующая теорема обобщает теорему 1.

Теорема 2 (теорема Лапласа).

Пусть матрице порядка произвольно выбраны строк, . Тогда сумма произведений всех миноров –го порядка, содержащихся в выбранных строках, на их алгебраические дополнения равна . Т.е. если – выбранные строки, то (1),

где суммирование ведется по всевозможным значениям индексов , .

Формула (1) называется формулой разложения определителя по –й строке .

Доказательство: см. Ильин, Поздяк стр. 27.

Примеры:

1)

2)

3) Определитель Вандермонда.

Вычитая первый столбец из всех остальных, получаем:

4°. Определитель суммы и произведения матриц.

Непосредственно из линейного свойства определителя вытекает:

Теорема 1: Если , то равен сумме определителей матриц порядка , каждая из которой получается следующим образом: часть строк (столбцов) берутся совпадающими с соответствующими строками (столбцами) матрицы , а остальные – совпадающие с соответствующими строками (столбцами) матрицы B.

Иллюстрация .

Теорема 2: Если , то .

Доказательство: Рассмотрим матрицу порядка : , где – нулевая квадратная матрица порядка ,

Из примера 1 пункта 3 имеем, что .

Преобразуем теперь матрицу . строку умножим на , – на –ую – на и сложим с первой строкой. Тогда первая строка имеет вид: . Аналогично к –ой строке прибавим , умноженную на – на –ую на .

Имеем: . Т.о., первые строк принимают вид:

При таких преобразованиях определитель не меняется

где . Но Т.о. доказано, что

det.

Следствие 1: Если

Следствие 2: Из

5°. Обратная матрица. Пусть – квадратная матрица порядка над полем .

Определение 1. Матрица называется обратной для , если .

Определение 2. Квадратная матрица называется невырожденной (или неособой), если и вырожденной (особой), если .

Из теоремы 2 пункта 4 Þ произведение матриц, одна из которых вырождена, будет вырожденной матрицей, а произведение двух невырожденных матриц дает невырожденную матрицу.

Определение 3. Матрицей присоединенной к матрице , называется матрица

,

где – алгебраическое дополнение элемента матрицы .

Лемма: Для матриц и справедливо .

Доказательство: Пусть . Тогда

Итак, . Аналогично .

Теорема 1: Для того, чтобы для матрица существовала обратная, необходимо и достаточно, чтобы матрица была невырожденной.

Доказательство: Þ Пусть для матрицы

Замечание: итак

Пример:

Свойства обратных матриц:

Пусть

Тогда

1.

2.

3.

4.

5.