Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Свойства операции транспонирования матриц
1. 2. 3. Доказательство свойств 1−3 осуществляется прямыми вычислениями (самостоятельно). 4. справедливо Доказательство: Легко видеть, что . Пусть – элемент матрицы ,стоящий в –й строке и –том столбце ,где – элемент –ой строки и –того столбца матрицы , где Но , , где и – элементы и , соответственно => , где последняя сумма – произведение элементов –ой строки на –ой столбец ,те – элемент (что и требовалсоь доказать). 5. Определение 4. Если квадратная , то называется симметричной, тогда , если т.е. , то – называется кососимметричной (антисимметричной). Свойство 1. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы, т.е. Доказательство: Пусть , , т.к. и имеют одинаковое количество членов , то достаточно показать, что член является членом и наоборот. Все члены имеют вид: и составлены из членов, находящихся в разных строках и столбцах этот же член является членом . Верно и обратное члены определителя одни и те же, осталось разобраться со знаками. Знак равен . Этот член входит в как и имеет знак (см. свойство 2 перестановок) т.к. определители и являются суммами одинаковых членов с одинаковыми знаками (что и требовалось доказать). Следствие: Всякая теорема об определителе остается справедливой, если слово строка заменить на слово столбец и наоборот. Свойство 2. Если одна из строк определителя состоит из 0,то определитель равен нулю. Доказательство: На самом деле, пусть –я строка нулевая,тк в каждый член определителя входит один её элемент все члены нулевые (что и требовалось доказать). Свойство 3. Если матрица получена из перестановкой каких–либо двух строк, то Доказательство: Пусть , –строки Если входит в , то все его члены и в остаются в разных столбцах и строках он входит и в . Для знак , а в надо считать знак перестановки эта перестановка получается из транспозицией в верхней строке она имеет противоположную четность, т.е. все члены входят в с противоположным знаком (что и требовалось доказать). Свойство 4. Определитель,содержащий две одинаковые строки,равен нулю Доказательство: Пусть в и –строки равны после их перестановки определитель равен , но т.к. переставлены одинаковые строки он тот же самый . Свойство 5. Если получена из умножением некоторой строки на , то . Доказательство: Свойство 6. Если содержит две пропорциональные строки, то . Доказательство: Пусть –я строка равна –строка можно вынести из –й строки (свойство 5) по свойству 4 (что и требовалось доказать). Свойство 7. Если все элементы –ой строки матрицы представлены в виде двух слагаемых: , то , где , имеют все строки, кроме –ой, как в , а –ая строка состоит из , а – из , т.е. Доказательство: (что и требовалось доказать). Следствие: Тоже самое, когда , т.е. сумма слагаемых. Свойство 8. Если одна из строк определители есть линейная комбинация его других строк, то определитель равен нулю. Доказательство: Если –ая строка, есть линейная комбинация остальных строк , то элемент –ой строки – сумма элементов по следствию к свойству 7 определитель можно представить как сумму определителей, в каждом из которых –ая строка пропорциональна одной из строк они равны (что и требовалось доказать). Свойство 9. Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и тоже число. Доказательство: Если к –ой строке прибавляется –ая строка, умноженная на , то в новом определители –ая строка равна . Тогда на основании 7 этот определитель – это сумма двух определителей, один из которых равен , а второй содержит две пропорциональные строки равен (что и требовалось доказать). Следствие: Определитель не менятся,если к одной его строке добавляется линейная комбинация других строк. 30.Миноры и алгебраические дополнения. Пусть . Выберем номеров строк и номеров столбцов . Определение 5. Минором порядка матрицы называется определитель матрицы порядка , образованной элементами, находящимися на пересечении выбранных строк и столбцов. Обозначение: Примеры: , , Определени 6. Если – квадратная порядка , то каждому минору порядка можно поставить в соответствие дополнительный минор порядка , элементы которого расположены на пересечении остальных строк и столбцов. Очевидно, что минор будет в свою очередь дополнительным к . Алгебраическими дополнениями минора называется произведение дополнительного минора на Если . Пример: Теорема 1 (о разложении определителя). Если и , то равен сумме произведений элементов любой строки матрицы на их алгебраические дополнения, т.е. . Доказательство: Пусть . Тогда, выбрав –ую строку, определитель можно представить как сумму: , где i-я строка Покажем, что . Переставляя раз столбцы и раз строки, получим: Лемма 1: Доказательство: . Рассмотрим . Очевидно, что так что число инверсий в и одно и тоже и значит (что и требовалось доказать). Вернемся к доказательству теоремы: (что и требовалось доказать). Следствие (разложение по чужой строке). Сумма произведений всех элементов какой–нибудь строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю. Доказательство: Пусть . Рассмотрим матрицу , получающуюся из заменой –ой строки на –ю, оставляя –ю прежней . Напишем разложение по –ой строке: т.к. алгебраические дополнения к элементам –ой строки у матрицы и совпадают (что и требовалось доказать). Пример: 1) = Следующая теорема обобщает теорему 1. Теорема 2 (теорема Лапласа). Пусть матрице порядка произвольно выбраны строк, . Тогда сумма произведений всех миноров –го порядка, содержащихся в выбранных строках, на их алгебраические дополнения равна . Т.е. если – выбранные строки, то (1), где суммирование ведется по всевозможным значениям индексов , . Формула (1) называется формулой разложения определителя по –й строке . Доказательство: см. Ильин, Поздяк стр. 27. Примеры: 1) 2) 3) Определитель Вандермонда.
Вычитая первый столбец из всех остальных, получаем:
4°. Определитель суммы и произведения матриц. Непосредственно из линейного свойства определителя вытекает: Теорема 1: Если , то равен сумме определителей матриц порядка , каждая из которой получается следующим образом: часть строк (столбцов) берутся совпадающими с соответствующими строками (столбцами) матрицы , а остальные – совпадающие с соответствующими строками (столбцами) матрицы B. Иллюстрация . Теорема 2: Если , то . Доказательство: Рассмотрим матрицу порядка : , где – нулевая квадратная матрица порядка ,
Из примера 1 пункта 3 имеем, что . Преобразуем теперь матрицу . строку умножим на , – на –ую – на и сложим с первой строкой. Тогда первая строка имеет вид: . Аналогично к –ой строке прибавим , умноженную на – на –ую на . Имеем: . Т.о., первые строк принимают вид: При таких преобразованиях определитель не меняется где . Но Т.о. доказано, что det. Следствие 1: Если Следствие 2: Из 5°. Обратная матрица. Пусть – квадратная матрица порядка над полем . Определение 1. Матрица называется обратной для , если . Определение 2. Квадратная матрица называется невырожденной (или неособой), если и вырожденной (особой), если . Из теоремы 2 пункта 4 Þ произведение матриц, одна из которых вырождена, будет вырожденной матрицей, а произведение двух невырожденных матриц дает невырожденную матрицу. Определение 3. Матрицей присоединенной к матрице , называется матрица , где – алгебраическое дополнение элемента матрицы . Лемма: Для матриц и справедливо . Доказательство: Пусть . Тогда Итак, . Аналогично . Теорема 1: Для того, чтобы для матрица существовала обратная, необходимо и достаточно, чтобы матрица была невырожденной. Доказательство: Þ Пусть для матрицы Замечание: итак Пример:
Свойства обратных матриц: Пусть Тогда 1. 2. 3. 4. 5. Date: 2015-04-23; view: 1071; Нарушение авторских прав |