Математикалық талдау

1. Тізбектер және оның шегі. Жинақты тізбектер және олардың қасиеттері.Тізбек жинақтылығының Коши критериі.

2. Функция шегі.Функция шегінің бар болуының Коши критериі.

3. Үзіліссіз функциялар. Кесіндідегі үзіліссіз функциялардың қасиеті.

4. Функцияның үзіліс нүктелері және олардың классификациясы.

5. Дифференциалданатын функциялардың негізгі қасиеттері. Бір айнымалы функция үшін Тейлор формуласы.

6. Функцияның интегралдануының қажетті және жеткілікті шарттары. Анықталған интегралдың орта мәні туралы теоремалар.

7. Бірінші және екінші текті меншіксіз интегралдар. Меншіксіз интегралдардың жинақтылығының жеткілікті шарттары.

8. Көп айнымалыдан тәуелді функция. Көп айнымалыдан тәуелді функцияның шегі. Көп айнымалыдан тәуелді функция үшін Тейлор формуласы.

9. Көп айнымалыдан тәуелді функцияның локалды экстремумы. Локалды экстремумның қажетті және жеткілікті шарттары. Шартты экстремум.

10. Сандық қатарлар. Абсолют және шартты жинақты қатарлар. Қатар жинақтылығының жеткілікті шарттары.

11. Функционалдық тізбектер және қатарлар. Функционалдық тізбектер мен қатарлар бірқалыпты жинақтылығының жеткілікті белгілері.

12. Дәрежелік қатарлар және олардың жинақталу облысы.Дәрежелік қатарлар мүшелеп интегралдау және мушелеп диффференциалдау. Функцияларды дәрежелік қатарларға жіктеу.

13. Қос интегралдаудың негізгі қасиеттері. Қос интегралдауда және үш еселі интегралдауда айнымалыны ауыстыру.

14. Бірінші және екінші текті қисық сызықты интегралдар.

1.Тізбектер және оның шегі. Жинақты тізбектер және олардың қасиеттері.Тізбек жинақтылығының Коши критериі.

Натурал сандар жиынында анықталған функциясының мәндерін сан тізбегі немесе тізбек деп атайды. Егер тізбегі берілсе, оны символымен белгілейді немесе былай жазады:

Анықтама 1. Егер кез келген үшін теңсіздігі орындалса, онда тізбегін өспелі дейді.

Анықтама 2. егер кез келген үшін теңсіздігі орындалса, онда тізбегін кемімелі дейді.

Анықтама 3. егер кез келген үшін теңсіздігін қанағаттандыратындай оң саны табылса, онда тізбегін шектелген деп атайды.

Анықтама. Егер әрбір алдын ала берілген санына сәйкес натурал саны табылса және кез келген нөмірлері үшін теңсіздігі орындалса, онда санын тізбегінің шегі деп атайды. Жазылуы: немесе ұмтылғанда деп жазады.

Мысалы, тізбектің шегін табу керек.

Шешімі. болады.

Анықтама.Шегі бар тізбекті жинақты деп, шегі жоқ тізбекті жинақсыз деп атайды. Егер тізбектің шегі бар болса, ондатізбекшектелгенболады. Жинақтытізбектіңбірғанашегібар. Жоғары (төменгі) жағынан шектелген өспелі (кемімелі) тізбектің шегі бар.

Анықтама. Егер тізбектің шегі нөльге тең болса, онда мұндай тізбекті шексіз аз деп атайды.

Теорема 1. Екі шексіз аз тізбектердің қосындысы шексіз аз болады.

Теорема 2. Шектелген тізбектің шексіз аз тізбекке көбейтіндісі шексіз аз тізбек болады.

Анықтама. Егер кез келген саны үшін нөмірі табылып, барлық үшін теңсіздігі орындалса, онда тізбегін шексіз үлкен шама дейді және былай жазады: .Теорема 3. Егер тізбегі, шексіз үлкен болса, онда тізбегі шексіз аз және керісінше тізбегі шексіз аз болса, онда тізбегі шексіз үлкен.

Теорема 4.Егер және тізбектері жинақты болса, онда

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Егер , онда