Отрицательные числа

Все представленные выше двоичные числа имеют положительные значения, что обозначается нулевым значением самого левого (старшего) разряда. Отрицательные двоичные числа содержат единичный бит в старшем разряде и выражаются двоичным дополнением. То есть, для представления отрицательного двоичного числа необходимо инвертировать все биты и прибавить 1.

Рассмотрим пример:

Число 65: 01000001

Инверсия: 10111110

Плюс 1: 10111111 (равно -65).

В случае, если прибавить единичные значения к числу 10111111, 65 не получится.

Фактически двоичное число считается отрицательным, если его старший бит равен 1. Для определения абсолютного значения отрицательного двоичного числа, необходимо повторить предыдущие операции: инвертировать все биты и прибавить 1:

Двоичное значение: 10111111

Инверсия: 01000000

Плюс 1: 01000001 (равно +65).

Сумма +65 и -65 должна составить ноль:

01000001 (+65) + 10111111 (-65) = (1) 00000000

Все восемь бит имеют нулевое значение. Перенос единичного бита влево потерян. Однако, если был перенос в знаковый pазряд и из разрядной сетки, то результат является корректным.

Двоичное вычитание выполняется просто: инвертируется знак вычитаемого и складываются два числа. Вычтем, например, 42 из 65. Двоичное представление для 42 есть 00101010, и его двоичное дополнение: — 11010110:

65 01000001 +(-42) 11010110 = 23 (1) 00010111

Результат 23 является корректным. В рассмотренном примере произошел перенос в знаковый разряд и из разрядной сетки.

В случае, если справедливость двоичного дополнения не сразу понятна, рассмотрим следующие задачи: Какое значение необходимо прибавить к двоичному числу 00000001, чтобы получить число 00000000? В терминах десятичного исчисления ответом будет -1. Для двоичного рассмотрим 11111111:

00000001 11111111 Результат: (1) 00000000

Игнорируя перенос (1), можно видеть, что двоичное число 11111111 эквивалентно десятичному -1 и соответственно:

0 00000000 -(+1) -00000001 -1 11111111

Можно видеть также каким образом двоичными числами предcтавлены уменьшающиеся числа:

+3 00000011

+2 00000010

+1 00000001

0 00000000

-1 11111111

-2 11111110

-3 11111101

Фактически нулевые биты в отрицательном двоичном числе определяют его величину: рассмотрите позиционные значения нулевых битов как если это были единичные биты, сложите эти значения и прибавьте единицу.