Уравнение неразрывности

Выделим из тензора скорости деформации новый тензор, который связан только с изменением формы и называется девиатором скорости деформации

(2.10)

где Е – единичный тензор.

Компоненты определяются соотношениями

(2.11)

или более подробно

(2.12)

Тензор - называется шаровым и соответствует только изменению объема.

Главные направления девиатора скорости деформации и тензора скорости деформации совпадают. Это следует из соотношения (2.10), так как для единичного тензора Е главным направлением будет любое направление.

Если материал несжимаем (довольно распространенная гипотеза), то

=0 и =

то есть в этом случае компоненты девиатора и тензора скорости деформации совпадают

,

а соотношение

= + + = 0 или = + + =0 (2.13)

представляет собой условие несжимаемости.

Инварианты девиатора скорости деформации имеют вид

Большую роль в теории пластичности играет второй инвариант, неотрицательную величину, составленную из которого

.(2.15)

называют интенсивностью скоростей деформации сдвига. В тензорной форме для несжимаемого материала она запишется так

(2.16)

Интенсивность скоростей деформации сдвига обращается в нуль, если материал равномерно расширяется или сжимается, когда

= = .

Для чистого сдвига, когда =0, кроме, например 0

Для одноосного растяжения или сжатия несжимаемого материала, когда 0,

Уравнение неразрывности определяет монотонность процесса деформации и отсутствие нарушения сплошности (разрывов и т.п.) в деформируемом теле.

Данное уравнение выводится как следствие закона сохранения массы тела в процессе деформации

(2.17)

Здесь - массовая плотность; - объем малой окрестности, окружающей точку М; - её масса. Скорость частицы в точке М - .

Исходя из отмеченных условий процесса деформации функции и предполагаются непрерывными и достаточное число раз дифференцируемыми функциями своих аргументов.

Уравнение неразрывности имеет вид

(2.18)

В частном случае несжимаемого материала ( =const) оно переходит в следующее уравнение

(2.19)

или, что то же самое

+ + =0

и представляет собой условие несжимаемости (отмеченное ранее).

Уравнение непрерывности и рассмотренные ранее дифференциальное уравнения движения еще не образуют замкнутой системы уравнений, так как четыре уравнения содержат десять неизвестных (шесть компонентов тензора напряжений , плотность и три компоненты вектора скорости v_i).

Несколько позднее эта система будет замкнута путем введения шести физических уравнений, которые не содержат дополнительных неизвестных, а объединяют напряжения и скорости движения.