Движение свободного твердого тела

Рассмотрим свободное твердое тело D, движущееся относительно неподвижной системы отсчета Охуz (рис. 4.6). Положение тела в любой момент времени однозначно определяется заданием произвольного жестко связанного с ним треугольника М ₁ М ₂ М ₃, т. е. заданием девяти декартовых координат, определяющих положения вершин этого треугольника. Однако так как расстояния между вершинами треугольника при его движении не изменяются (как расстояния между любыми точками твердого тела), то координаты вершин будут связаны друг с другом соотношениями:

Здесь x_k, y_k, z_k (k = 1, 2, 3) - декарто-вые координаты k -й вершины треу-гольника М ₁ М ₂ М ₃; l ₁₂, l ₂₃, l ₃₁ - рас-стояния между соответствующими вершинами этого треугольника.

Поэтому для определения положения тела D достаточно задать шесть декартовых координат, остальные три могут быть найдены с помощью выше записанных уравнений.

Число S независимых координат, однозначно определяющих положение тела в пространстве, равно числу степеней свободы тела.

Следовательно, для свободного твердого тела S = 6.

Обычно в качестве независи-мых координат выбирают декартовые координаты х_А, у_А, z_A произвольной точки А, принятой за полюс, и три угла Эйлера относительно де-картовой системы координат Ах ₁ у ₁ z ₁, движущейся поступательно с полю-сом А (для простоты на рис. 4.7 углы Эйлера не показаны). Для задания движения свободного тела D необ-ходимо определить:

Рис. 4.7

(4.13)

Уравнения (4.13) называются уравнениями свободного движения твердого тела.

Из (4.13) следует, что если зафиксировать углы Эйлера , то тело D движется поступательно как выбранный полюс А, а если мысленно остановить полюс А, то тело D совершает сферическое движение вокруг этого полюса А. При свободном движении твердого тела оба эти движения происходят одновременно. Следовательно, перемещение свободного твердого тела D из одного положения бесконечно близкое складывается из посту-пательного перемещения тела вместе с полюсом А и поворота вокруг мгновенной оси АР, проходящей через этот полюс (рис. 4.7).

Поэтому скорость и ускорение любой точки М свободно движущегося тела складываются из скоростей и ускорений точки М в поступательном движении вместе с полюсом А и из скорости и ускорения точки М в сферическом движении вокруг этого полюса и определяются по формулам:

;

,

где , - скорость и ускорение полюса А; - скорость точки М, а - её ускорение в сферическом движении вокруг полюса А.