Системы с параллельным соединением элементов

Системой с параллельным соединением элементов называется система, отказ которой происходит только в случае отказа всех ее элементов (см. п. 2, рис. 2.2). Такие схемы надежности характерны для систем, в которых элементы дублируются или резервируются, т.е. параллельное соединение используется как метод повышения надежности (см. п. 4.2). Однако такие системы встречаются и самостоятельно (например, параллельное включение диодов в мощных выпрямителях).

Для отказа системы с параллельным соединением элементов в течение наработки необходимо и достаточно, чтобы все ее элементы отказали в течение этой наработки. Так что отказ системы заключается в совместном отказе всех элементов, вероятность чего (при допущении независимости отказов) может быть найдена по теореме умножения вероятностей как произведение вероятностей отказа элементов:

(3.7)

Соответственно, вероятность безотказной работы

(3.8)

Для систем из равнонадежных элементов (р_i = р)

Q=qⁿ, (3.9)

т.е. надежность системы с параллельным соединением повышается при увеличении числа элементов (например, при р =О.9 и n =2 Р =0.99, а при n =3 Р =0.999).

Поскольку q_i <1, произведение в правой части (3.7) всегда меньше любого из со множителей, то вероятность отказа системы не может быть выше вероятности самого надежного ее элемента (“лучше лучшего”) и даже из сравнительно ненадежных элементов возможно построение вполне надежной системы.

При экспоненциальном распределении наработки (1.7) выражение (3.9) принимает вид

Р = 1 - [1 ехр(- l t)]ⁿ, (3.10)

откуда с помощью (1.1) после интегрирования и преобразований средняя наработка системы определяется

, (3.11)

где Т_{0 i} = 1/ l _i - средняя наработка элемента. При больших значениях n справедлива приближенная формула

. (3.12)

Таким образом, средняя наработка системы с параллельным соединением больше средней наработки ее элементов (например, при n = 2 Т₀ = 1.5 T_oi, при n = З T₀ = 1.83 T_0i).

Лекция 9.

Системы типа “m из n”

2.3.3.3. Системы типа “m из n”

Систему типа “m из n” можно рассматривать как вариант системы с параллельным соединением элементов, отказ которой произойдет, если из n элементов, соединенных параллельно, работоспособными окажутся менее m элементов (m < n).

Рис.3.1 Система “2 из 5”

На рис. 3.1 представлена система “2 из 5”, которая работоспособна, если из пяти её элементов работают любые два, три, четыре или все пять (на схеме пунктиром обведены функционально необходимые два элемента, причем выделение элементов 1 и 2 произведено условно, в действительности все пять элементов равнозначны). Системы типа “m из n” наиболее часто встречаются в электрических и связных системах (при этом элементами выступают связующие каналы), технологических линий, а также при структурном резервировании (см. п. 4.1, 4.2).

Для расчета надежности систем типа “m из n” при сравнительно небольшом количестве элементов можно воспользоваться методом прямого перебора. Он заключается в определении работоспособности каждого из возможных состояний системы, которые определяются различными сочетаниями работоспособных и неработоспособных состояний элементов.

Все состояния системы “2 из 5” занесены в табл. 3.1. (в таблице работоспособные состояния элементов и системы отмечены знаком “+” неработоспособные – знаком “-“). Для данной системы работоспособность определяется лишь количеством работоспособных элементов. По теореме умножения вероятностей вероятность любого состояния определяется как произведение вероятностей состояний, в которых пребывают элементы. Например, в строке 9 описано состояние системы, в которой отказали элементы 2 и 5, а остальные работоспособны. При этом условие "2 из 5" выполняется, так что система в целом работоспособна. Вероятность такого состояния

(предполагается,что все элементы равнонадежны). С учетом всех возможных состояний вероятность безотказной работы системы может быть найдена по теореме сложе­ния вероятностей всех работоспособных сочетаний. Поскольку в табл. 3.1 количество неработоспособных состояний меньше, чем работоспособных (соответственно 6 из 26), проще вычислить вероятность отказа системы. Для этого суммируются вероятности неработоспособных состояний (где не выполняется условие " 2 из 5 ")

(3.13)

Тогда вероятность безотказной работы системы

(3.14)

Расчет надежности системы "m из n" может производится комбинаторным методом, в основе которого лежит формула биномиального распределения. Биномиальному распределению подчиняется дискретная случайная величина k - число появлений некоторого события в серии из n опытов, если в отдельном опыте вероятность появления события составляет р. При этом вероятность появления события ровно k раз определяется

(3.15)

где - биномиальный коэффициент, называемый "числом сочетаний по k из n" (т.е. сколькими разными способами можно реализовать ситуацию "k из n");

(3.16)

Значения биномиальных коэффициентов приведены в приложении к методическим рекомендациям.

Поскольку для отказа системы "m из n" достаточно, чтобы количество исправных элементов было меньше m, вероятность отказа может быть найдена по теореме сложения вероятностей для k = 0,1,... (т-1):

(3.17)

Аналогичным образом можно найти вероятность безотказной работы как сумму
(3.15) для k=m, m+1,…,n:

(3.18)

Таблица 3.1

Taблица состояний системы "2 из 5

N состояния	Состояние элементов	Состояние системы	Вероятность состояния системы
	+	+	+	+	+	+
	+	+	+	+	-	+
	+	+	+	-	+	+
	+	+	-	+	+	+
	+	-	+	+	+	+
	-	+	+	+	+	+
	+	+	+	-	-	+
	+	+	-	+	-	+
	+	-	+	+	-	+
	-	+	+	+	-	+
	+	+	-	-	+	+
	+	-	+	-	+	+
	-	+	+	-	+	+
	+	-	-	+	+	+
	-	+	-	+	+	+
	-	-	+	+	+	+
	+	+	-	-	-	+
	+	-	+	-	-	+
	-	+	+	-	-	+
	+	-	-	-	+	+
	-	+	-	-	+	+
	-	-	-	+	+	+
	+	-	-	+	-	+
	-	+	-	+	-	+
	-	-	+	-	+	+
	-	-	+	+	-	+
	+	-	-	-	-	-
	-	+	-	-	-	-
	-	-	+	-	-	-
	-	-	-	+	-	-
	-	-	-	-	+	-
	-	-	-	-	-	-

Очевидно, что Q+P=1, поэтому в расчетах следует выбирать ту из формул (3.17), (3.18), которая в данном конкретном случае содержит меньшее число слагаемых.

Для системы “2 из 5” (рис. 3.1) по формуле (3.18) получим:

(3.19)

Вероятность отказа той же системы по (3.17):

(3.20)

что, как видно дает тот же результат для вероятности безотказной работы.

В табл. 3.2 приведены формулы для расчета вероятности безотказной работы систем типа “m из n” при m<=n<=5. Очевидно, при m=1 система превращается в обычную систему с параллельным соединением элементов, а при m=n – с последовательным соединением.

Таблица 3.2

m	Общее число элементов, n
	p
	-	p2
	-	-	p3
	-	-	-	P4
	-	-	-	-	p5

Лекция 10.

Мостиковые схемы. Комбинированные системы.