Волновые свойства частиц

1.1. Волны де Бройля нерелятивистский случай

[1 балл]

1) Определить длину волны де Бройля λ характеризующую волновые свойства электрона, если его скорость v =10 Мм/с. [1 балл] Ответ: 728 пм

2) Какую ускоряющую разность потенциалов U должен пройти протон, чтобы длина волны де Бройля λ была равна 2 пм? [1 балл] Ответ: 205 В

3) Определить длину волны де Бройля λ электрона, если его кинетическая энергия T = 2 кэВ. [1 балл] Ответ: 27,5 пм

4) Определить длину волны де Бройля λ характеризующую волновые свойства протона, если его скорость v =5 Мм/с. [1 балл] Ответ: 0,08 пм

5) Найти длину волны де Бройля λ протона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U=1 кВ. [1 балл] Ответ: 0,9 пм

6) Найти дебройлевскую длину волны молекул водорода, соответствующей их среднеквадратичной скорости при нормальных условиях. [1 балл] Ответ: 153 пм

7) Какую ускоряющую разность потенциалов U должен пройти электрон, чтобы длина волны де Бройля λ была равна 0,1 нм? [1 балл] Ответ: 150 В

8) Какую энергию (в эВ) необходимо дополнительно сообщить электрону, чтобы его дебройлевская длина волны уменьшилась от 100 до 50 пм? [1 балл] Ответ: 450 эВ

9) Заряженная частица, ускоренная разностью потенциалов 200 В, имеет длину волны де Бройля 22,7 пм. Найдите массу частицы, если ее заряд по модулю равен заряду электрона. [1 балл] Ответ: 6,68·10^{-27 кг}

10) Какую минимальную длину волны де Бройля имеет электрон, выбитый в результате фотоэффекта с поверхности металла фотоном, имевшим энергию 3 кэВ? [1 балл] Ответ: 22,4 пм

11) Определить длину волны де Бройля λ характеризующую волновые свойства пули, массой 10 г, если его скорость v =800 м/с. [1 балл] Ответ: 0,8·10^{-34 м}

12) Протон и электрон имеют одинаковую длину волны. Определите соотношение их скоростей. [1 балл] Ответ: 1835

13) Фотон и протон имеют одинаковую длину волны 0,1 нм. Определите соотношение их скоростей. [1 балл] Ответ: 7,5·10⁴

14) Определите кинетическую энергию электрона (в эВ), если его длина волны де Бройля равна 100 пм. [1 балл] Ответ: 150 эВ

15) Фотоэффект вызывается фотонами с длиной волны 0,3 нм. Какую минимальную длину волны де Бройля имеют фотоэлектроны. [1 балл] Ответ: 19 пм

1.2. Волны де Бройля релятивистский случай

[2 балла]

1) Электрон движется со скоростью v = 200 Мм/с. Определить длину волны де Бройля λ. [2 балла] Ответ: 2,7 пм

2) При каком значении кинетической энергии (в эВ) дебройлевская длина электрона равна его комптоновской длине волны λ_c? [2 балла] Ответ: 0,21 МэВ

3) Определить длину волны де Бройля λ электрона, если его кинетическая энергия T = 400 кэВ. [2 балла] Ответ: 15 пм

4) С какой скоростью движется электрон, если длина волны де Бройля λ электрона равна его комптоновской длине волны λ_c? [2 балла] Ответ: 212 Мм/с

5) Определить длину волны де Бройля λ нейтрона, если его кинетическая энергия T = 1 ГэВ. [2 балла] Ответ: 0,73 фм

6) Протон движется со скоростью v = 0,6 c. Определить длину волны де Бройля λ. [2 балла] Ответ: 1,76 фм

7) Кинетическая энергия электрона равна удвоенному значению его энергии покоя. Вычислите длину волны де Бройля этого электрона. [2 балла] Ответ: 0,86 пм

8) При каком значении кинетической энергии (в эВ) дебройлевская длина протона равна его комптоновской длине волны λ_c? [2 балла] Ответ: 389 МэВ

9) Во сколько раз различаются длины волн де Бройля протона и электрона, если они имеют одинаковую кинетическую энергию 0,511 МэВ? [2 балла] Ответ: 35

10) С какой скоростью движется электрон, если длина волны де Бройля λ электрона равна 2,7 пм? [2 балла] Ответ: 200 Мм/с

11) При каком значении кинетической энергии (в эВ) длина волны де Бройля λ электрона равна 15 пм? [2 балла] Ответ: 400 кэВ

12) Во сколько раз различаются длины волн де Бройля нейтрона и электрона, если они имеют одинаковую кинетическую энергию 2 МэВ? [2 балла] Ответ: 17,7

13) С какой скоростью движется протон, если длина волны де Бройля λ протона равна 1,76 фм? [2 балла] Ответ: 1,8·10⁸ м/с

14) Найти длину волны де Бройля релятивистских электронов, подлетающих к антикатоду рентгеновской трубки, если длина волны коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра λ_к= 10 пм. [2 балла] Ответ: 3,3 пм

15) При каком значении кинетической энергии (в эВ) длина волны де Бройля нейтрона равна 0,73 фм? [2 балла] Ответ: 1 ГэВ

1.3. Соотношение неопределенностей

[1 балл]

1) Используя соотношение неопределенностей оце­нить ширину Г (в эВ) энергетического уровня в атоме, находяще­гося в возбужденном состоянии (время τ жизни атома в возбужденном состоянии равно 10 нс). [1 балл] Ответ: Ответ: 6,6·10^-8 эВ.

2) Оценить неопределенность Δ v скорости электрона в атоме, приняв линейные размеры атома l = 0,1 нм. [1 балл] Ответ: 1,16 Мм/с.

3) Используя соотношение неопределенностей оце­нить время τ жизни атома в возбужденном состоянии, если ширина Г энергетического уровня равна 7,3·10^-8 эВ. [1 балл] Ответ: Ответ: 9 нс.

4) Оценить неопределенность Δ x координаты электрона, если неопределенность Δ v его скорости равна 0,39 Мм/с. [1 балл] Ответ: 0,3 нм.

5) Оценить неопределенность Δ v скорости электрона, если неопределенность координаты равна дебройлевской длине волны l = 0,4 нм. [1 балл] Ответ: 0,29 Мм/с.

6) При движении броуновской частицы (m = 10^{-10 г) вдоль оси} x ее скорость определяется с точностью Δ v_x = 1 см/с. Оценить неопределенность координаты Δ x. [1 балл] Ответ: 10^{-19 м.}

7) Протон в ядре атома железа локализован с точностью до размеров, равных радиусу ядра (R = 6·10^{-15 м). Оценить неопределенность} Δ v скорости протона. [1 балл] Ответ: 10,5 Мм/с.

8) Используя соотношение неопределенностей оце­нить ширину Г энергетического уровня в атоме водорода, находяще­гося в основном состоянии. [1 балл] Ответ: 0.

9) Нейтрон в ядре атома платины локализован с точностью до размеров, равных радиусу ядра (R = 9·10^{-15 м). Оценить неопределенность} Δ v скорости протона. [1 балл] Ответ: 7 Мм/с.

10) Используя соотношение неопределенностей оце­нить ширину Г (в эВ) энергетического уровня в атоме, находяще­гося в возбужденном состоянии (время τ жизни атома в возбужденном состоянии равно 30 нс). [1 балл] Ответ: 2,2·10^-8 эВ.

11) Оценить неопределенность Δ v скорости протона, локализованного в области размером l = 10^{-14 м. [1 балл] Ответ: 6,3 Мм/с.}

12) Используя соотношение неопределенностей оце­нить время τ жизни в возбужденном состоянии, если ширина Г энергетического уровня равна 6·10^-8 эВ. [1 балл] Ответ: Ответ: 11 нс.

13) Оценить неопределенность Δ x координаты электрона, если неопределенность Δ v его скорости равна 0,6 Мм/с. [1 балл] Ответ: 0,2 нм.

14) Оценить неопределенность Δ v скорости электрона, если неопределенность координаты равна дебройлевской длине волны l = 0,35 нм. [1 балл] Ответ: 0,33 Мм/с.

15) Используя соотношение неопределенностей оце­нить ширину Г энергетического уровня в атоме гелия, находяще­гося в основном состоянии. [1 балл] Ответ: 0.

1.4. Соотношение неопределенностей

[2 балла]

1) Во сколько раз дебройлевская длина волны λ частицы меньше неопределенности Δ x ее координаты, которая соответ­ствует относительной неопределенности импульса Δ p / p = 0,01? [2 балла] Ответ: 16.

2) Электрон с кинетической энергией E = 4 эВ локализован в области размером l = 1 мкм. Определить с помощью соотношения неопределенностей относительную неопределенность Δ v / v его скорости. [2 балла] Ответ: 10^-4.

3) Оценить неопределенность координаты Δ x электрона, если его кинетическая энергия E = 0,6 эВ. [2 балла] Ответ: 0,25 нм.

4) Электрон с кинетической энергией E = 6 эВ локализован в области размером l = 2 мкм. Определить с помощью соотношения неопределенностей относительную неопределенность Δ p / p его импульса. [2 балла] Ответ: 4·10^-5.

5) Электрон локализован в области размером l = 0,33 нм. Оценить кинетическую энергию E (в эВ) электрона, при которой ее относительная неопределенность Δ E / E будет порядка 0,01. [2 балла] Ответ: 35 эВ.

6) Оценить относительную ширину Δω/ω спектральной линии, если известны время жизни атома в возбужденном состоянии τ = 10^-8 с и длина волны излучаемого фотона λ = 0,6 мкм. [2 балла] Ответ: 0,2·10^-6.

7) Атом испустил фотон за время τ = 10^-8 c. Оценить неопределенность ∆ x, с которой можно установить координату фотона в направлении его движения. [2 балла] Ответ: 3 м.

8) Используя соотношение неопределенностей оце­нить низший энергетический уровень E _min (в эВ) электрона в атоме водорода. Принять линейные размеры атома l = 0,1 нм. [2 балла] Ответ: 15 эВ.

9) Во сколько раз дебройлевская длина волны λ частицы меньше неопределенности Δ x ее координаты, которая соответ­ствует относительной неопределенности импульса Δ p / p = 0,02? [2 балла] Ответ: 8.

10) Электрон с кинетической энергией E = 2 эВ локализован в области размером l = 2 мкм. Определить с помощью соотношения неопределенностей относительную неопределенность Δ v / v его скорости. [2 балла] Ответ: 6,9·10^-5.

11) Оценить неопределенность координаты Δ x электрона, если его кинетическая энергия E = 1 эВ. [2 балла] Ответ: 0,2 нм.

12) Электрон с кинетической энергией E = 8 эВ локализован в области размером l = 3 мкм. Определить с помощью соотношения неопределенностей относительную неопределенность Δ p / p его импульса. [2 балла] Ответ: 2,3·10^-5.

13) Электрон локализован в области размером l = 0,1 нм. Оценить кинетическую энергию E (в эВ) электрона, при которой ее относительная неопределенность Δ E / E будет порядка 0,07. [2 балла] Ответ: 54,5 эВ.

14) Оценить относительную ширину Δω/ω спектральной линии, если известны время жизни атома в возбужденном состоянии τ = 6·10^-9 с и длина волны излучаемого фотона λ = 0,55 мкм. [2 балла] Ответ: 0,3·10^-6.

15) Атом испустил фотон за время τ = 5·10^-9 c. Оценить неопределенность ∆ x, с которой можно установить координату фотона в направлении его движения. [2 балла] Ответ: 1,5 м.

1.5. Интерференция и дифракция частиц

[3 балла]

1) Параллельный пучок моноэнергетических электронов падает нормально на диафрагму с узкой прямоугольной щелью ширины a = 1 мкм. Определить скорость этих электронов, если на экране, отстоящем от щели на расстояние l = 50 см, ширина центрального дифракционного максимума Δ₀ = 0,36 мм. [3 балла] Ответ: 2 Мм/с.

2) Параллельный поток электронов, ускоренных разностью потенциалов U = 25 В, падает нормально на диафрагму с двумя узкими щелями, расстояние между которыми d = 50 мкм. Определить расстояние между соседними максимумами дифракционной картины на экране, расположенном на расстоянии l = 1 м от щелей. [3 балла] Ответ: 4,9 мкм.

3) Узкий пучок моноэнергетических электронов падает на поверхность монокристалла никеля. В направлении, составляющем угол υ = 55º с направлением падающих электронов, наблюдается максимум отражения четвертого порядка при энергии электронов E = 180 эВ. Вычислить соответствующее межплоскостное расстояние. [3 балла] Ответ: 0,207 нм, k – порядок максимума.

4) Параллельный пучок моноэнергетических электронов падает нормально на диафрагму с узкой прямоугольной щелью ширины a = 2 мкм. Определить дебройлевскую длину волны этих электронов, если на экране, отстоящем от щели на расстояние l = 1 м, ширина центрального дифракционного максимума Δ₀ = 0,5 мм. [3 балла] Ответ: 0,5 нм.

5) Параллельный поток электронов падает нормально на диафрагму с двумя узкими щелями, расстояние между которыми d = 55 мкм. Определить дебройлевскую длину волны электронов, если расстояние между соседними максимумами дифракционной картины на экране, расположенном на расстоянии l = 30 cм от щелей, составляет Δ x = 3 мкм. [3 балла] Ответ: 0,55 нм.

6) Узкий пучок моноэнергетических электронов падает на поверхность монокристалла меди, расстояние между атомными плоскостями которого d = 0,19 нм. В направлении, составляющем угол υ = 28º с направлением падающих электронов, наблюдается максимум отражения третьего порядка. Вычислить энергию (в эВ) электронов. [3 балла] Ответ: 100 эВ, k – порядок максимума.

7) Параллельный пучок моноэнергетических электронов падает нормально на диафрагму с узкой прямоугольной щелью ширины a = 1 мкм. Определить энергию (в эВ) этих электронов, если на экране, отстоящем от щели на расстояние l = 60 cм, максимум второго порядка смещен от центра симметрии дифракционной картины на расстояние Δ x = 0,65 мм. [3 балла] Ответ: 8 эВ, k – порядок максимума.

8) Пучок электронов, ускоренных разностью потенциалов U = 150 В, падает на поверхность металла, внутренний потенциал которого U_i = 15 В. Найти показатель преломления металла для электронов. [3 балла] Ответ: 1,05.

9) Параллельный пучок моноэнергетических электронов падает нормально на диафрагму с узкой прямоугольной щелью ширины a = 2 мкм. Определи ть скорость этих электронов, если на экране, отстоящем от щели на расстояние l = 60 см, ширина центрального дифракционного максимума Δ₀ = 0,4 мм. [3 балла] Ответ: 1,1 Мм/с.

10) Параллельный поток электронов, ускоренных разностью потенциалов U = 30 В, падает нормально на диафрагму с двумя узкими щелями, расстояние между которыми d = 70 мкм. Определить расстояние между соседними максимумами дифракционной картины на экране, расположенном на расстоянии l = 75 см от щелей. [3 балла] Ответ: 2,4 мкм.

11) Моноэнергетический пучок нейтронов падает на кристалл с периодом d = 0,15 нм. Определить скорость нейтронов, если брэгговское отражение первого порядка наблюдается, когда угол скольжения υ = 30º. [3 балла] Ответ: 2,65 км/с, k – порядок максимума.

12) Параллельный пучок моноэнергетических электронов падает нормально на диафрагму с узкой прямоугольной щелью ширины a = 3 мкм. Определить дебройлевскую длину волны этих электронов, если на экране, отстоящем от щели на расстояние l = 1 м, ширина центрального дифракционного максимума Δ₀ = 0,6 мм. [3 балла] Ответ: 0,9 нм.

13) Параллельный поток электронов падает нормально на диафрагму с двумя узкими щелями, расстояние между которыми d = 40 мкм. Определить дебройлевскую длину волны электронов, если расстояние между соседними максимумами дифракционной картины на экране, расположенном на расстоянии l = 25 cм от щелей, составляет Δ x = 5 мкм. [3 балла] Ответ: 0,8 нм.

14) Узкий пучок моноэнергетических электронов падает на поверхность кристалла. В направлении, составляющем угол υ = 42º с направлением падающих электронов, наблюдается максимум отражения третьего порядка при энергии электронов E = 200 эВ. Вычислить соответствующее межплоскостное расстояние. [3 балла] Ответ: 0,14 нм, k – порядок максимума.

15) Параллельный пучок моноэнергетических электронов падает нормально на диафрагму с узкой прямоугольной щелью ширины a = 1,5 мкм. Определить энергию (в эВ) этих электронов, если на экране, отстоящем от щели на расстояние l = 50 cм, максимум третьего порядка смещен от центра симметрии дифракционной картины на расстояние Δ x = 0,54 мм. [3 балла] Ответ: 7 эВ, k – порядок максимума.