Число Френеля

Рассмотрим резонатор, образованный двумя плоскопараллельными зеркалами А и В с радиусом а, удаленными друг от друга на расстояние d. Параллельный пучок излучения с длиной волны l, падающего на зеркало А, отражается и дифрагирует в угол порядка l/а (диск Эйри, содержащий около 84 % энергии). Половина угла, под которым видно зеркало В из центра А, есть а/d. Излучение, распространяющееся под этим углом к оси резонатора, пройдет через него только один раз и затем покинет резонатор. В лазерном резонаторе излучение должно проходить туда и обратно между зеркалами много раз. Если число проходов излучения через систему равно n, то максимальный угол между направлением распространения излучения и осью резонатора равен а/nd. Таким образом, для малых потерь

а/nd > l/а. (9)

Практически радиус а равен радиусу активного тела, находящегося между зеркалами. Величину а²/ld называют числом Френеля N:

N = а²/ld. (10)

С точки зрения чистой дифракции должно выполняться условие, чтобы каждое зеркало "перехватывало" как можно больше излучения, выходящего с поверхности другого зеркала. Для этого угол, под которым видно одно зеркало из центра другого, должен быть больше, чем угол, соответствующий дифракционной картине от другого зеркала в дальней зоне. В связи с этим N приблизительно равно числу перекрываемых зон Френеля. Для системы, состоящей из зеркал с радиусами а₁ и а₂, мы имеем

N = а₁а₂/ld. (11)

В типичной ситуации в резонаторе осуществляется несколько десятков или сотня проходов, прежде чем излучение ослабляется за счет различных механизмов потерь (при прохождении зеркал, дифракции на рассеивающих центрах, ухода из резонатора и т. д.) в е раз по сравнению с начальной интенсивностью. Когда число Френеля ~ 100, дифракционные потери несущественны и систему можно описывать с достаточной точностью с помощью геометрической оптики. Дифракционные потери следует принимать в рассмотрение в случае, когда они становятся сравнимыми с потерями при отражении.

Числа Френеля для рубиновых лазеров и аналогичных им систем обычно порядка 100, для газовых лазеров они порядка 10. Это видно из двух следующих примеров.

Типичный рубиновый стержень имеет размеры 10 см в длину и 1 см в диаметре, зеркала напылены на его торцах. Длина волны излучения рубинового лазера при комнатной температуре равна 6943 при показателе преломления рубина 1.76. В соответствии с (2) число Френеля ~ 625. Для аргонового лазера длина резонатора порядка 50 см при внутреннем диаметре газоразрядной трубки ~ 2 мм. Длина волны излучения равна 4880. Число Френеля здесь составляет ~ 20.

Часть энергии a, теряемая за счет дифракции за один проход, в предположении об однородном распределении поля и фазы при дифракционном угле q = l/а равна отношению площади кольца с разностью внешнего и внутреннего диаметров x (x = qd) к площади зеркала радиусом а

2pах/pa² = ld/a² = 1/N. (12)

Date: 2015-05-18; view: 2533; Нарушение авторских прав