Температурная зависимость концентрации свободных носителей заряда

Разрешенные зоны содержат огромное количество уровней (10²² – 10²³ в 1 см³), на каждом из которых могут находиться электроны. Фактическое же количество электронов зависит от концентрации доноров и от температуры. Чтобы оценить фактическую концентрацию носителей в полупроводнике, нужно знать распределение уровней и вероятность заполнения этих уровней.

Энергетическое распределение электронов в твердом теле определяется статистикой Ферми-Дирака. Принципиальный результат функции распределения Ферми-Дирака дает вероятность того, что электрон занимает уровень, соответствующий энергии Е:

(1.3)

Общее число электронов в кристалле можно определить следующим образом

(1.4)

где f(E) – функция распределения Ферми-Дирака,

g(E) – функция плотности энергетических состояний.

Можно показать, что

(1.5)

Рассчитывая интеграл (1.4) и учитывая, что концентрации n и р электронов и дырок в собственном полупроводнике одинаковы, получим температурную зависимость концетрации носителей заряда в виде

( 1.6 )

где E_g – ширина запрещенной зоны полупроводника, а С – некоторая константа.

Температурная зависимость подвижности носителей заряда. В твердом теле движущиеся электроны непрерывно испытывают столкновения с узлами кристаллической решетки, примесями и дефектами, т. е. испытывают рассеяние. Равноускоренное движение под действием поля возможно только в коротких интервалах между столкновениями на длине свободного пробега. После каждого столкновения электрон, грубо говоря, должен заново набирать скорость. В результате средняя скорость электронов и дырок пропорциональна напряженности поля, коэффициент пропорциональности называется подвижностью:

Таким образом, подвижность – это скорость движения носителей заряда при единичной напряженности поля.

Подвижность, обусловленная рассеянием на узлах решетки, находится по формуле

(1.7)

Если преобладает рассеяние на ионах примеси, то:

(1.8)

Константа С зависит от материала и типа проводимости. Например, для кремния С ≈ ⁵/₂. Учет двух процессов приводит к следующему выражению для подвижности:

Результирующая подвижность близка к меньшей из двух составляющих μ_L и μ_I. Для кремния при температурах Т >0ºС меньшей оказывается составляющая μ_L; поэтому зависимость μ(Т) описывается формулой (1.7): подвижность уменьшается с ростом температуры. При Т <-50ºС меньшей оказывается составляющая μ_I; поэтому зависимость μ(Т) описывается формулой (2.93): подвижность уменьшается с уменьшением температуры.

Поскольку в рассматриваемом интервале температур определяющим механизмом рассеяния является рассеяние на фононах, то температурная зависимость подвижности определяется .

Однако среди отмеченных особенностей механизмов проводимости определяющей при формировании свойств полупроводникового резистора является экспоненциальная температурная зависимость концентрации носителей заряда собственного полупроводника. Поэтому окончательное выражение можно представить в виде

(1.8)

где ₀– предэкспоненциальный множитель, зависящий от природы полупроводника.

Данное выражение можно записать и для полной электрической проводимости G

(1.9)

которая связана с электрическим сопротивлением R соотношением G =1/ R и G ₀=1/ R ₀.

Тогда

(1.10)

Задачей данной работы является снятие вольтамперной характеристики полупроводникового терморезистора, изучение температурной зависимости его термосопротивления и определение ширины Egзапрещенной зоны исследуемого собственного полупроводника.