Великая теорема Гильберта

Набор всех собственных функций любого эрмитового оператора составляет полный набор (систему) функций. Это означает, что любая функция может быть представлена как линейная комбинация функций из этого набора, причем представлена единственным образом. Иными словами, пусть А^ - эрмитовый оператор. Тогда уравнение

А^ ψ = а ψ,

называемое уравнением на собственные функции и собственные значения (см. определение (4)), имеет множество решений ψ_n c соответствующими собственными значениями а_n. При этом любая функция φ может быть представлена в виде

φ = ∑_nc_n ψ_n (8)

причем набор c_n для каждой функции φ вполне определенный. Собственные функции подобны ортам для векторов. Вообще функция - это частный случай вектора. При записи (8) предполагается, что собственные функции оператора могут быть пронумерованы числами натурального ряда n, об этом случае говорят как о дискретном спектре оператора А^, но возможно, что собственные функции могут быть систематизированы непрерывным параметром р. Об этом говорят как о непрерывном, сплошном спектре оператора и сумма в (8) заменяется интегралом:

φ = ∫c_р ψ_рdp (9)

Лекция 2

Теорема. Собственные значения эрмитового оператора действительны. Потому-то они играют важную роль в квантовой механике.

Домножим уравнение

А^ ψ = а ψ

слева скалярно на ψ:

‹ψ|А^ ψ› = а ‹ψ|ψ›

перепишем это равенство, учитывая определение скалярного произведения (1.5) и условие нормировки (1.1)

∫ ψ* А^ψdq = a

Запишем комплексно сопряженное равенство (см. (1.7))

∫ ψА^*ψ*dq = a*

и, воспользовавшись определениями транспонированного оператора (1.6), эрмитово сопряженного и эрмитового оператора, имеем:

a* = ∫ ψ*А^*̃ψdq = ∫ψ*А^⁺ ψdq = ∫ψ*А^ψdq = а

т.е. а* = а, что и требовалось доказать.

Теорема. Собственные функции эрмитового оператора (ψ₁ и ψ₂), соответствующие различным собственным значениям (а₁ ≠ а₂), ортогональны между собой, т.е. ‹1|2› = 0.

Рассмотрим величину ‹ψ₁|А^ ψ₂› = ‹ψ₁|а₂ ψ₂› = а₂ ‹1|2›. Но, с другой стороны, ‹ψ₁|А^ ψ₂› = ∫ ψ₁* А^ψ₂ dq = (∫ ψ₂* А^⁺ψ₁ dq)* = (а₁‹2|1›)* = а₁ ‹1|2›. Т.е. а₂ ‹1|2› = а₁ ‹1|2›, (а₂ - а₁) ‹1|2›, откуда ‹1|2› = 0.

Можно показать, что и собственные функции, соответствующие одинаковым собственным значениям (так называемый случай вырождения спектра оператора А^), также можно сделать ортогональными. Таким образом, все собственные функции эрмитового оператора можно сделать ортогональными между собой и нормированными. О такой системе функций говорят как об ортонормированном базисе, по которому в силу теоремы Гильберта можно разложить любую функцию. В полном соответствии с набором ортов в случае векторов.