Плоская стенка

Для плоской однослойной однородной и изотропной стенки с постоянным коэффициентом теплопроводности Х при постоянных тем­пературах t_{w 1} и t_{w 2} (рис. 1) на наружных поверхностях стенки температура будет изменяться только в направлении, перпендикулярном плос­кости стенки и дифференциальное уравнение теплопроводности запишется в виде:

,

граничные условия:

при х =0 t=t_{w 1},

при x =d t = t_{w 2},

где d - толщина стенки, м;

х - текущая координата в плоскости, перпендикулярной поверх­ности стенки, м;

t - текущая температура, °С;

t_{w 1} и t_{w 2} - температуры на наружных поверхностях стенки, °С.

После двойного интегрирования получается уравнение распреде­ления температуры в плоской однослойной стенке:

, (1)

Для определения количества теплоты, проходящей через единицу поверхности стенки в единицу времени, используют закон Фурье:

,

учитывая, что

,

получим

, (2)

где q - плотность теплового потока, Вт/м;

l - коэффициент теплопроводности стенки, Вт/(м×К).

Отношение - называется тепловой проводимостью стенки, а обратная величина - термическим сопротивлением стенки.

Плотность теплового потока через плоскую многослойную стен­ку, состоящую из п слоев, рассчитывается по формуле:

, (3)

где d _i - толщина i -того слоя стенки, м;

l _i - коэффициент теплопроводности i -того слоя стенки, Вт/(м×К).

Величина - есть сумма термических сопротивлений всех слоев плоской стенки.

Температура на границах между слоями рассчитывается по формуле

, (4)

где t_i - температура на границе между i -тым и i +1-вым слоями, °С.

Внутри каждого из слоев с постоянным коэффициентом тепло­проводности температура изменяется по прямой линии, а для много­слойной стенки в целом изменение температуры представляет собой ломаную линию.

2.2. ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ СТЕНКА

Дифференциальное уравнение теплопроводности однослойной цилиндрической стенки (рис. 2) с постоянными температу­рами на наружных поверхностях t_{w 1} и t_{w 2} и постоянным коэффициентом теплопроводности стенки l запишется в ци­линдрических координатах в виде:

,

граничные условия

при r = d ₁/2 t = t_{w 1},

при r = d ₂/2 t = t_{w 2},

где r - текущая координата, м;

d ₁ - внутренний диаметр цилиндрической стенки, м;

d ₂. - наружный диаметр цилиндрической стенки, м.

Интегрирование этого уравнения дает распределение температур в однослойной цилиндрической стенке:

, (5)

где d - текущий диаметр цилиндрической стенки, м.

Тепловой поток, проходящий через единицу длины цилиндриче­ской стенки, определяется на основании закона Фурье:

, (6)

где q_L - линейная плотность теплового потока, Вт/м.

Тепловой поток, проходящий через единицу длины многослойной цилиндрической стенки, состоящей из п слоев, рассчитывают по зави­симости:

, (7)