Расчёт момента инерции маятника Обербека и момента сил сопротивления

Для расчета движения механической системы маятник-груз применим уравнения динамики поступательного движения для груза, закрепленного на нити, и динамики вращательного движения для маятника.

Груз массой m движется с ускорением под действием результирующей сил тяжести и силы натяжения нити . Запишем второй закон Ньютона в проекции на направление движения:

(1)

Сила натяжения передается нитью от груза к шкиву вращающегося маятника. Если предположить, что нить невесомая, то на шкив маятника действует сила , равная по величине и противоположная ей по направлению (следствие третьего закона Ньютона: ). Сила натяжения создает вращательный момент относительно горизонтальной оси O, направленный «от нас» и приводящий в движение маятник Обербека. Величина этого момента равна , где R – радиус шкива, на который намотана нить, , где D -диаметр шкива.

Момент силы сопротивления относительно оси вращения направлен в противоположную сторону (к нам).

Основной закон динамики вращательного движения:

,

где - результирующий момент сил,

J – момент инерции маятника,

- угловое ускорение.

В скалярной форме это уравнение имеет вид (записаны проекции векторов моментов сил и углового ускорения на ось вращения О, направление которой выбрано «от нас»):

(2)

Используя кинематическую связь линейного и углового ускорения , а также уравнение движения груза , выразим e через измеряемые величины x и t:

(3)

Решим систему уравнений (1) и (2), для чего умножим (1) на R и сложим с (2):

.

Выражаем момент инерции маятника Обербека:

(4)

Все величины, кроме М_СОПР, входящие в это уравнение, известны. Поставим задачу экспериментального определения М_СОПР.

Пусть I – момент инерции маятника Обербека без грузов. Из (4) следует, что

(5)

В условиях эксперимента , что позволяет считать зависимость e(m) линейной.

Эту зависимость можно использовать для экспериментальной оценки величины . Действительно, если полученную экспериментально зависимость экстраполировать до пересечения с осью абсцисс, то есть до точки на этой оси, для которой выполняется (см. 5) равенство , то это позволяет определить как

. (6)

Для определения момента инерции маятника I воспользуемся (4), где величина М_СОПР предварительно определена из измерений e(m) и формулы (6). Подставив выражение e из (3) и М_СОПР из (6) в (4), получаем рабочую формулу для определения момента инерции маятника

.

Для используемого в работе маятника Обербека справедливо неравенство . Учитывая это, получаем: .

Для расчетов удобно представить момент инерции в виде:

(7)

где .

Величины коэффициентов k: k₁, k₂ для соответствующих диаметров шкивов D₁,D₂ указываются в паспорте установки. Для определения момента инерции маятника необходимо измерить время t опускания груза массой m.

Зависимость момента инерции маятника от расстояния грузов до оси вращения

Момент инерции маятника Обербека может быть представлен как сумма моментов инерции крестовины со шкивами (I₁) и моментов инерции четырех грузиков, закрепленных на расстояниях r от оси вращения (4I₂). Если размеры этих грузиков малы в сравнении с r, можно считать, что I₂=m₁r² - момент инерции материальной точки. Тогда момент инерции маятника

(8)

Эту зависимость момента инерции от расстояния грузов до оси вращения предполагается проверить, используя результаты, полученные по формуле (7).

Значение можно взять из данных эксперимента для определения момента инерции маятника Обербека без грузов, считая, что момент сил сопротивления остается постоянным.

Задание к работе:

1. Приступив к работе, снимите грузы со стержней, намотайте нить на шкив большего диаметра. Для трёх значений массы подвешенного груза m измерьте время опускания груза t для заданного расстояния x. По формуле (3) рассчитайте величину углового ускорения e для соответствующих значений m.

2. Постройте зависимость e(m). Определите из графика по точке его пересечения с осью абсцисс значение m₀, при котором e=0. Рассчитайте по формуле (6) величину момента сил сопротивления М_СОПР.

3. Проведите прямые пятикратные измерения времени опускания груза для заданного расстояния x.

4. Рассчитайте среднее время t и определите доверительную погрешность измерения при доверительной вероятности Р=90%, n=5 (см. «Введение»).

5. Вычислите по формуле (7) среднее значение момента инерции крестовины со шкивами .

6. Определите доверительную погрешность косвенных измерений момента инерции крестовины (см. «Введение») и запишите результаты в виде .

7. Закрепив грузы m₁ на стержнях маятника на равном расстоянии r от оси вращения, определите это расстояние либо с помощью линейки, либо используя указанные около установки исходные данные.

8. Проведите однократные измерения времени t опускания груза массой m (выберите одно значение) для одной высоты падения при трёх различных расстояниях r от оси вращения.

9. Вычислите моменты инерции маятника с грузами на стержнях по формуле (7) при различных расстояниях r. При этом, как показали предварительные опыты, можно с допустимой точностью использовать в качестве величины m₀ её значение, найденное ранее для крестовины без грузов на спицах. Сравните полученные данные со значениями момента инерции, вычисленными по формуле (8) для соответствующих значений r. Результаты вычислений занесите в таблицу измерений.

10. Постройте на одном рисунке графики экспериментально полученной и теоретически ожидаемой зависимости момента инерции маятника от r², проанализируйте причины их несовпадения.

Контрольные вопросы:

1. Какова цель данной работы?

2. Момент инерции, его физический смысл.

3. Как можно изменить момент инерции маятника Обербека?

4. Исходя их уравнений динамики поступательного и вращательного движения, вывести рабочую формулу (7).

5. В каком случае движение маятника является равноускоренным?

6. Как измерить расстояние от оси вращения до центров грузиков, закрепленных на стержнях?

7. Каким образом в данной работе подтверждается линейная зависимость момента инерции от квадрата расстояния тел до оси вращения?

Литература

1. Савельев И.В. Курс общей физики. - М, Наука, 1982 г. Т.1. и последующие издания.

Лабораторная работа № 4

Определение момента инерции тела