Ментальные числа

Расширением первого числового класса в ГАС является класс ментальных чисел, состоящий из бесконечного числа вложенных друг в друга подклассов.

Класс ментальных чисел (в случае статических ГАС) завершается числами: "{A}" - конвенциально абсолютно большим положительным числом, не имеющим осмысленных расширений (последующих чисел) и "{а}" - конвенциально абсолютно малым положительным числом, не имеющим предыдущих положительных чисел.

Как и все прочие предельные положительные числа ГАС, они связаны между собой отношением: {A}*{а} = 1.

В динамических ГАС класс ментальных чисел может быть преодолен и расширен до супраментального и т.п., что, очевидно, может иметь смысл только в теологических исследованиях. Подобное расширение называется в ГАС интенсивным. Процедура интенсивного расширения ГАС (перехода к новой суперединице бесконечности) всегда дедуктивна и состоит в выборе нового максимального числа, например, конвенциально абсолютного супраментального числа и в последовательном актуально бесконечном делении его до обычных единиц, фиксируемом на аксиоматическом уровне. После этого осуществляется актуально бесконечный цикл экстенсивных (индуктивных) расширений старых (уже существующих) числовых классов до нового числового класса, также фиксируемый аксиоматически.

Процедура экстенсивного (индуктивного) расширения предшествующего класса всегда однотипна и состоит в конструировании минимального и максимального числа нового класса путем возведения в квадрат соответствующих чисел предшествующего класса.

В случае второго числового класса ГАС (первого ментального класса) это выглядит следующим образом: ²а = ¹а * ¹а = ¹а² - минимальное число 2 класса; ²А = ¹А * ¹А = ¹А ² - максимальное число 2-го класса. Число в верхнем левом углу над рассматриваемым числом означает номер числового класса.

Поскольку вышеизложенные аксиомы справедливы для всех числовых классов ГАС, универсальны, специальной разработки дополнительного аппарата для оперирования числами и множествами нового числового класса не требуется.

Последовательное применение процедуры расширения числовых классов приводит к иерархии бесконечно малых и бесконечно больших чисел и соответствующих им классов.

Здесь уместно привести также системообразующую для ГАС "аксиому иерархии".

"Аксиома иерархии" устанавливает зависимость между максимальными и минимальными числами различных классов, между конечными и бесконечными числами, между бесконечными числами (мерами бесконечности) различных порядков.

Для статистической ГАС первого экзистенциального уровня "Аксиома иерархии" сводится к двум соотношениям:

1) Аксиома иерархии для класса материальных чисел:

¹А^1/s > c^d и ¹a^1/s < 1/c^d , где s, с и d - произвольно большие конечные положительные целые материальные числа;

¹А: с = V; ¹А ^1/s = R, где с и s - произвольно большие конечные положительные материальные числа, а V и R - бесконечные материальные числа.

2) Аксиома иерархии для класса ментальных чисел:

{А}^1/s > c^d и {a}^1/s < 1/c^d , где s, с и d - произвольно большие бесконечные положительные целые ментальные числа.

{А}: с = V; {А} ^1/s = R, где с и s - произвольно большие бесконечные положительные числа, а V и R - конвенциально абсолютно бесконечные ментальные числа.

В ГАС существенно понятие "Большой числовой класс".

Большой числовой класс - это класс, включающий в себя аддитивно неограниченное количество числовых классов, начиная с первого. Большие числовые классы имеют собственную иерархию и образуют Суперкласс, в который входит аддитивно неограниченное количество Больших числовых классов.

Числа Большого числового класса обозначаются следующим образом (на примере предельных чисел):

1) минимальное число k-го числового класса n- го БЧК - ^n.k а;

2) максимальное число k-го числового класса n- го БЧК - ^n.k А.

Суперкласс представляет собой последнюю структурную единицу статической ГАС первого экзистенциального уровня, то есть завершает класс ментальных чисел.

Все числовые классы, большие числовые классы и суперкласс в рамках статических ГАС любых уровней актуальны и счетны изначально, то есть считаются заданными единовременно в момент формулирования процедуры их генерации.

Максимальное и минимальное числа Суперкласса рассматриваются в статической ГАС первого уровня в качестве конвенциональных Абсолютных чисел. Такая размерность ГАС более чем достаточна для решения любых гносеологических задач, имеющихся в наличии, и большинства перспективных.

Вместе с тем, возможно деление ГАС на иерархизированные по весу единицы метасчисления: числовые классы, большие числовые классы и суперклассы различной размерности (вкупе с механизмом их генерации). То есть в рамках гармонической арифметики возможна супердинамизация динамических арифметических систем. Это позволяет неограниченно расширять ГАС в направлении к истинному Абсолюту (к границам умопостигаемого Универсума) путем последовательного введения все более широких единиц метасчисления без потери универсальности (общности) аксиоматики и операционной системы.

В ГАС легко доказываются все важнейшие теоремы классической арифметики, использующие закон исключенного третьего (в ТФО – закон исключенного пятого), а также обеспечиваются необходимые условия для глубоких интеллектуальных "прорывов" в познании природы и законов абсолютного.

Кроме того, ГАС является полноценным инструментом для создания принципиально новых версий геометрии и математического анализа, в которых понятия бесконечно малой и бесконечно большой величин будут употребляться в точно определенном непротиворечивом смысле.

Таким образом, ГАС представляет собой инструмент математического мышления, отвечающий продекларированным выше интенциям, и автору остается надеяться, что эту уверенность с ним разделят члены математического сообщества, уставшие от противоречий «наивной» и аксиоматических теорий множеств и логических ограничений интуиционизма и конструктивизма.

[Впервые опубликовано: Петросян В.К. Основные положения концепции оснований гармонической арифметики //Бесконечность в математике: философские и исторические аспекты. - М.: Янус - К, 1997. - с. 48-66]