Гармонической арифметики

Логико-методологической основой гармонической арифметики является построенная автором теория формальных объектов (ТФО), представляющая собой гармонизированное обобщение формальной логики и канторовской теории множеств.

ТФО (в отличие от канторовской теории множеств) рассматривает такие объекты, как системы, множества, единицы (монады) и пустые объекты (меоны), как объекты одного уровня логической общности и различает их между собой (то есть “множество” перестает быть универсальным и предельно общим объектом теории).

ТФО оперирует только конечными и актуально бесконечными объектами и не рассматривает потенциально бесконечные объекты как логически корректные и имеющие статус существования.

ТФО содержит универсальный механизм оперирования формальными объектами, не требующий различения конечных и актуально бесконечных множеств.

ТФО признает только существование счетных (перечислимых) множеств и не признает существования различных по свойствам и способам формирования, но неразличимых по мощности счетных множеств.

Названные свойства ТФО делают ее интеллектуальным инструментом, необходимым и достаточным для построения математики (в частности арифметики), основанной на абстракции счетной актуальной бесконечности.

Примечание. За время, прошедшее с момента первой публикации настоящего доклада (более семи лет), теория формальных объектов (ТФО) была существенно модифицирована автором и переименована в теорию формальных ментальных объектов (ТФМО), став специализированной составной частью теории ментальных объектов (ТМО).

Гармоническая арифметика - это новый раздел математики, трактующий о конечных и счетных актуально бесконечных числах (их совокупностях), условиях их существования, отношениях и операциях над ними.

Предикат "гармоническая" применяется в названии новой арифметики на том основании, что, по мнению автора, она, во-первых, не содержит противоречий, присущих канторовской арифметике бесконечных множеств, во-вторых, основана на принципиально новом логическом механизме согласования и соизмеримости контрадикторных предикатов применительно к одному и тому же объекту (числу, множеству чисел) и, в-третьих, обладает встроенным механизмом саморазвития, гарантирующим преодоление возможных противоречий в случае их появления.

Конкретной аксиоматической реализацией общих принципов гармонической арифметики и ее частной подсистемой, справедливой только в определенных "экзистенциальных" границах, является «гармоническая арифметическая система» (ГАС) - непротиворечивая, циклически развиваемая арифметическая система, элементами которой являются исключительно актуальные (завершенные) числа (конечные и бесконечные) и их совокупности.

Все ГАС, входящие в гармоническую арифметику, различаются по уровню общности (уровню существования, "экзистенциальности"). Будучи построенной всецело на абстракции счетной актуальной бесконечности, иерархия ГАС не рассматривает потенциальные (незавершенные) числа (их множества) в качестве своих элементов, что позволяет устранить амбивалентность и противоречия канторовской теории множеств и ее интерпретаций.

С учетом потребности в парадигмальном развитии иерархия ГАС устроена как гносеологически расширяемая система, диалектически, то есть в ней предусмотрен логически непротиворечивый механизм сосуществования абсолютных и относительных (производных от первых) понятий в рамках одной теории.

Существенной особенностью иерархии ГАС является универсальность ее операционной системы, независимость (инвариантность) результатов арифметической операции от экстенсиональных свойств предметов операции, то есть отсутствие различий между конечными и бесконечными элементами ГАС (числами и их множествами) в процессе оперирования ими.

С точки зрения своей структуры каждая ГАС может быть определена как саморазвивающаяся формализованная и упорядоченная иерархия актуальных числовых классов (систем), отличающихся друг от друга свойствами и составом элементов (видом чисел), построенная на некотором непрерывно уточняемом комплексе представлений об абсолютной числовой системе.

Все числовые классы (системы) любой ГАС обладают однотипными базовыми свойствами, что позволяет дать общее (родовое) определение понятию "числовой класс ГАС".