Классификация чисел в ГАС

Классификация чисел, существующих в ГАС, не вполне совпадает с подобной классификацией в классической арифметике, хотя автор и стремился к сохранению преемственности.

В ГАС сохранено классическое деление чисел на положительные и отрицательные, целые и дробные, комплексные, однако прочие основания деления и связанные с ними наименования существенно изменены.

Главным в ГАС является подразделение чисел и их множеств на конечные и бесконечные (и те и другие являются актуальными и счетными; потенциальных чисел и множеств в ГАС не существует).

Все последующие деления относятся равным образом как к конечным, так и к бесконечным числам.

Классические "рациональные" числа в ГАС именуются "периодическими". Причем "периодическими" в ГАС могут быть не только дробные, но и целые числа, поскольку число разрядов в системах счисления, используемых в ГАС, равно как "до", так и "после" запятой.

Например, "периодическим" является число вида: (9),0 = 999...9,0 (девять в периоде, запятая, ноль). Кроме того, периодические числа в ГАС, в свою очередь, делятся на классы по количеству допустимых периодов. Так, строго различаются двух -, трех-,..., n - периодические числа. Это обусловлено возможностью оперирования в ГАС актуально бесконечными числами и множествами.

Классические "иррациональные" числа именуются в ГАС "непериодическими" (в качестве которых могут, также как и в предшествующем случае, выступать целые числа) и делятся на два дополнительных класса: "упорядоченные" и "неупорядоченные" числа.

"Упорядоченными" числами считаются такие непериодические числа, которые имеют в своем строении последовательность цифр, задаваемую алгоритмически с помощью некоторой рекуррентной зависимости. Способ задания рекуррентной зависимости применительно к последовательности десятичных значений «упорядоченного числа» ничем не отличается от способов, используемых при генерации последовательностей чисел, и состоит в указании операций и (или) вычислений, которые необходимо произвести над s независимо заданными непосредственно предшествующими членами последовательности десятичных значений «упорядоченного числа», чтобы получить очередной член последовательности десятичных значений.

Например, к "упорядоченным" непериодическим (рекуррентным) числам относятся числа вида: 1121231234...,0 и 0,101100111000... Существенным признаком "упорядоченных непериодических чисел" является предсказуемость значений этих чисел до произвольно большого знака до или после запятой.

К «упорядоченным» относятся также непериодические числа, сформированные на основе некоторой рекуррентной зависимости первоначально в какой-либо d-ичной (d - произвольно большое - необязательно конечное - число) системе счисления и апостериори переведенные в десятичную систему счисления. В такой трактовке большинство иррациональных чисел можно отнести к множеству «упорядоченных», хотя, разумеется и в меньшей степени, чем те числа, при генерации которых использованы хорошо распознаваемые и достаточно простые математические зависимости.

Исходя из этого, упорядоченные непериодические числа, в свою очередь, делятся на "вполне упорядоченные" и "частично упорядоченные" числа и т.д. - в зависимости от типа и уровня сложности используемой рекуррентной зависимости.

"Неупорядоченными" числами считаются такие непериодические числа (как целые, так и дробные), относительно которых не доказан факт наличия в их основе какой-либо рекуррентной (или иной логически упорядоченной) зависимости. Например, к "неупорядоченным" непериодическим числам (до момента доказательства обратного) относятся числа, в классической арифметике именуемые "алгебраическими" и "трансцендентными".

Кстати говоря, проблема соотношения множеств в разной степени упорядоченных непериодических чисел в бесконечных числовых множествах со временем может стать одной из наиболее интересных задач теории чисел, имеющих бесконечную область применения в философии (хаос как нераспознанный порядок), в физике (соотношение порядка и хаоса в материальных системах), в искусственном интеллекте (распознавание бесконечных, плохо структуризированных образов и сжатие сверхбольших массивов информации) и т.п.

Названные виды чисел входят в структуру всех числовых классов, принадлежащих ГАС, то есть являются универсальными для любых типов актуально бесконечных чисел.