Тема 5 Пределы и непрерывность

Предел числовой последовательности. Предел функции в бесконечности и точке. Бесконечно малые величины и их свойства. Бесконечно большие величины. Основные теоремы о пределах: теорема единственности, предел суммы, произведения, частного. Признаки существования предела. Второй замечательный предел. Число е. Понятие о натуральных логарифмах. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Основные теоремы о непрерывных функциях. Вычисление пределов. (1, гл.6, § 6.1–6.7); (2, гл.6).

Необходимо ознакомиться с определением предела числовой последовательности (1, с.141, 142) и его геометрической интерпретацией; понять определение предела функции в точке (1, с.143–146) и в бесконечности и познакомиться с их геометрической интерпретацией.

Суть предела числовой последовательности в том, что для любого сколь угодно малого положительного числа e>0 можно найти номер числовой последовательности (N=N(e)), что для всех членов последовательности с номерами n>N верно неравенство êa_n-Aê<e.

Весьма важным являются понятия бесконечно малых и бесконечно больших величин (1, с.147-153), суть которых сводится к тому, что при своем изменении бесконечно малая (по абсолютной величине) будет меньше любого, сколь угодно малого числа e<0, а бесконечно большая будет больше любого сколько угодно большого числа М>0.

Нужно знать взаимосвязь бесконечно больших и бесконечно малых величин, с помощью которых доказываются теоремы о пределах. Следует обратить внимание на признаки существования пределов, особенно на теорему 1 (1, с.155), часто позволяющую установить наличие предела значительно проще, чем при использовании его определения.

Необходимо (без вывода) знать второй замечательный предел в двух формах записи: = e и ^1/y=e.

Понятие непрерывности функции (в точке, на промежутке) является более простым, чем предел, так как оно выражается непрерывностью графика при прохождении данной точки, данного промежутка (без отрыва карандаша от листабумаги). Наряду с интуитивным представлениемнадо знать определение непрерывности функции в точке и на промежутке, свойства непрерывных функций (1, с. 161 – 166), а также то, что всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке области определения и может иметь разрыв лишь на границах области определения.

Необходимо ознакомиться с теоретическими вопросами и дать на них ответы.

Рекомендуется разобрать задачи с решениями N 6.1-6.3, 6.5, 6.6,. 6.8, 6.9-6.11, 6.13, 6.14 и задачи для самостоятельной работы N 6.18, 6.20–6.27, 6.33–6.36, 6.38–6.41 по учебнику (1) и аналогичные задачи по практикуму (2).