Проективная геометрия

Важным в актуализации представлений о бесконечности в математике стало создание Понселе в 1822 году проективной геометрии, одной из ключевых идей которой является сворачивание при проектировании бесконечно удалённого в «идеальные точки» и «идеальные прямые». Так, чтобы превратить бесконечную плоскость в евклидовом пространстве в проективную плоскость необходимо для каждого класса параллельных прямых добавить идеальную точку^[en], и все эти идеальные точки (и только они) сворачиваются в идеальную прямую^[en]. Действительная проективная прямая в этих построениях — расширение числовой прямой идеальной точкой ().

Так же, как и в анализе^[⇨], с полученной бесконечностью в проективной геометрии можно оперировать (в проективной геометрии, в отличие от анализа, бесконечность не имеет знака, ):

,

,

,

,

,

,

но при этом выражения не определены.

Создавая геометрическую интерпретацию комплексных чисел Риман в 1851 году воспользовался средствами проективной геометрии, и для комплексной плоскости построил проективное пространство — комплексное обобщение числовой проективной прямой, известное как сфера Римана: полюсы сферы — точки и , а стереографическая проекция (с выколотой точкой ) переводит её в комплексную плоскость. В отличие от вещественного анализа, где используется бесконечность со знаком, в комплексном анализе используется именно проективная форма бесконечности ().