Теорема Бернулли

Теорема. Если в каждом из n-независимых испытаний вероятность p появления события А постоянна, то, как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности p по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико.

Доказательство. Рассмотрим в качестве случайных величин , число появлений события А в испытании. Каждая из этих величин может принимать только два значения:

1- с вероятностью p (событие А наступило);

0- с вероятностью (событие А не появилось).

Математическое ожидание каждой из этих величин: , а дисперсия

Так как , то произведение не превышает (произведение двух сомножителей, сумма которых есть величина постоянная, имеет наибольшее значение при равенстве сомножителей: - наибольшее).

Следовательно, , т.е. дисперсии всех величин ограничены одним числом. Каждая величина имеет одно и тоже математическое ожидание .

Date: 2015-06-07; view: 517; Нарушение авторских прав