Дифференциальные уравнения

При изучении интегралов перед нами стояла задача: найти y, если y¢ = f(x), или dy = f(x)dx. Решение, как известно, дается формулой y = ò f(x)dx и сводится, таким образом, к вычислению неопределенного интеграла. Однако на практике значительно чаще встречается гораздо более сложная задача: найти функцию y, если известно, что она удовлетворяет данному соотношению вида

F(x, y, y¢, y¢¢,..., y⁽ⁿ⁾) = 0. (9.1)

Такого рода соотношения, связывающие независимую переменную x, неизвестную функцию y и ее производные до некоторого порядка n включительно, называются дифференциальными уравнениями.

В дифференциальном уравнении, таким образом, неизвестной является функция, входящая в уравнение под знаком производных (или дифференциалов) того или иного порядка. Порядок наивысшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком этого дифференциального уравнения.

Например:

y¢ - x²y + x³ = 0 - уравнение первого порядка,

y¢¢ + 4y¢ + cos x = 0 - уравнение второго порядка,

x y⁽⁵⁾ + yy¢¢¢ = 1 - уравнение пятого порядка и т. д.

Всякая функция, удовлетворяющая данному дифференциальному уравнению, называется его решением, или интегралом. Решить дифференциальное уравнение - это значит найти все его решения. Если для искомой функции y нам удалось получить формулу, дающую все решения данного дифференциального уравнения и только их, то мы говорим, что нашли его общее решение, или общий интеграл.

Общее решение дифференциального уравнения n -го порядка содержит n произвольных постоянных с₁, с₂,..., c_n и имеет вид

y = j(x, с₁, с₂,..., c_n).

Если соотношение, связывающее x, y и n произвольных постоянных, получено в виде, не разрешенном относительно y -

Ф(x, y, с₁, с₂,..., c_n) = 0,

то будем называть такое соотношение общим интегралом уравнения (9.1).

В противовес общему решению каждое конкретное решение, т. е. каждая конкретная функция, удовлетворяющая данному дифференциальному уравнению и не зависящая от произвольных постоянных, называется частным решением, или частным интегралом. Частные решения (интегралы) получаются из общего, когда постоянным с₁, с₂,..., c_n придают конкретные числовые значения.

График каждого частного решения называется интегральной кривой. Поэтому общее решение, содержащее все частные решения, представляет собой семейство интегральных кривых. В случае уравнения первого порядка это семейство зависит от одной произвольной постоянной, в случае уравнения n -го порядка - от n произвольных постоянных.

В задаче Коши (начальной задаче) требуется найти частное решение для уравнения n -го порядка, удовлетворяющее n начальным условиям:

y(x_o) = y_o, y¢(x_o) = y_o¢,..., y^(n-1)(x_o) = y_o^(n-1),

по которым определяются n постоянных с₁, с₂,..., c_n. Дифференциальное уравнение 1-го порядка имеет общий вид

F(x, y, y¢) = 0,

или вид, разрешенный относительно y¢:

y¢ = f(x, y).

Пример 3.46. Найти общее решение уравнения y¢ = 3x.

Решение. Интегрируя, находим

y = ò 3x dx, y = 3x²/2 + C,

где С - произвольная постоянная. Придавая С конкретные числовые значения, будем получать частные решения, например,

y = 3x²/2 (С= 0),

y = 3x²/2 + 5 (С = 5)

и т.д.

Пример 3.47. Рассмотрим процесс возрастания денежной суммы, положенной в банк при условии начисления 100 r сложных процентов в год. Пусть Y_o обозначает начальную денежную сумму, а Y_x - денежную сумму по истечении x лет. Если бы проценты начислялись один раз в год, мы бы имели

Y_x+1 = (1+r)Y_x,

где x = 0, 1, 2, 3,.... Если бы проценты начислялись два раза в год (по истечении каждого полугодия), то мы имели бы

Y_x+1/2 = (1 + r/2)Y_x,

где x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Вообще, если проценты начисляются n раз в год и x принимает последовательно значения 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., тогда

Y_x+1/n = (1 + r/n)Y_x,

то есть

.

Если обозначить 1/n = h, то предыдущее равенство перепишется так:

.

Неограниченно увеличивая n (при n®¥, h®0) мы в пределе приходим к процессу возрастания денежной суммы при непрерывном начислении процентов:

,

то есть при непрерывном изменении x закон возрастания выражен дифференциальным уравнением 1- го порядка. Отметим для четкости, что Y_x - неизвестная функция, x - независимая переменная, r - постоянная. Для решения данного уравнения перепишем его следующим образом:

откуда Y_x = e ^{r x+C}, или Y_x = P e ^{r x,} где через P обозначено e^C.

Учитывая начальное условие Y(0) = Y_o, найдем P: Y_o = Pe^o, следовательно, Y_o = P. Решение имеет вид:

Y_x =Y_o e ^{r x}.

Рассмотрим еще одну экономическую задачу. Простейшие макроэкономические модели также приводят к линейным дифференциальным уравнениям 1-го порядка, описывающим изменение дохода или выпуска продукции Y как функций времени.

Пример 3.48. Пусть национальный доход Y возрастает со скоростью, пропорциональной его величине:

,

и пусть, кроме того, дефицит в расходах правительства прямо пропорционален доходу Y (при коэффициенте пропорциональности q). Дефицит в расходах приводит к возрастанию национального долга D:

dD/dt = qY.

Здесь мы считаем переменные Y и D непрерывными и дифференцируемыми функциями времени t. Пусть начальные условия имеют вид
Y = Y_o и D = D_o при t = 0. Из первого уравнения мы получаем, учитывая
начальные условия, Y= Y_o e ^{k t}. Подставляя Y во второе уравнение, получаем dD/dt = qY_o e ^{k t.} Общее решение этого уравнения имеет вид
D = (q/ k) Y_o e ^{k t} +С, где С = const, которую мы определим из начальных условий. Подставляя начальные условия в полученное решение, мы получаем D_o = (q/ k)Y_o + С. Итак, окончательно,

D = D_o+(q/ k)Y_o (e ^{k t} -1), то есть, национальный долг возрастает с той же относительной скоростью k, что и национальный доход.

Простейшим дифференциальным уравнением n -го порядка является уравнение y⁽ⁿ⁾ = f(x).

Его общее решение можно получить с помощью n интегрирований.

Пример 3.49. Решить уравнение y¢¢¢ = cos x.

Решение. Интегрируя, находим

y¢¢ = ò cos x dx = sin x + C_1,

y¢ = ò (sin x + C₁)dx = - cos x + C₁x + С_2,

y = ò (- cos x + C₁x +C₂)dx = - sin x + C₁x²/2 +C₂x+C₃.

Итак, общее решение

y = - sin x + C₁x²/2 +C₂x+C₃.

В математической экономике большое применение находят линейные дифференциальные уравнения, и поэтому мы рассмотрим решение таких уравнений. Дифференциальное уравнение (9.1) называется линейным, если имеет вид:

р_o(x)y⁽ⁿ⁾(x) + р₁(x)y^{(n- 1)}(x) +... + р_{n - 1}(x)y¢(x) + р_n(x)y(x) = f(x), (9.2)

где р_o(x), р₁(x),..., р_n(x), f(x) - данные функции. Если f(x) º 0, то уравнение (9.2) называется однородным, в противном случае - неоднородным. Общее решение уравнения (9.2) есть сумма какого-либо его частного решения y(x) и общего решения соответствующего однородного уравнения:

р_o(x)y⁽ⁿ⁾(x) + р₁(x)y^{(n- 1)}(x) +... + р_{n - 1}(x)y¢(x) + р_n(x)y(x) = 0. (9.3)

Если коэффициенты р_o(x), р₁(x),..., р_n(x) постоянные, то уравнение (9.2) принимает вид:

р_oy⁽ⁿ⁾(x) + р₁y^{(n- 1)}(x) +... + р_{n - 1}y¢(x) + р_ny(x) = f(x) (9.4)

и называется линейным дифференциальным уравнением порядка n с постоянными коэффициентами.

Соответствующее уравнению (9.4) однородное уравнение выглядит так:

р_oy⁽ⁿ⁾(x) + р₁y^{(n- 1)}(x) +... + р_{n - 1}y¢(x) + р_ny(x) = 0. (9.5)

Без ограничения общности можно положить р_o = 1 и записать уравнение (9.5) в виде

y⁽ⁿ⁾(x) + р₁y^{(n- 1)}(x) +... + р_{n - 1}y¢(x) + р_ny(x) = 0. (9.6)

Решение уравнения (9.6) будем искать в виде y = e ^kx, где k - постоянная. Имеем: y¢ = k e ^kx, y¢¢ = k² e ^kx,..., y⁽ⁿ⁾ = kⁿ e ^kx_. Подставляя полученные выражения в (9.6), будем иметь:

e ^kx (kⁿ + р₁k^n-1 +... + р_n-1k + р_n) = 0.

Т.к. e ^kx ¹ 0, то

kⁿ + р₁k^n-1 +... + р_n-1k + р_n = 0. (9.7)

Равенство (9.7) есть алгебраическое уравнение с неизвестным k. Оно называется характеристическим уравнением для дифференциального уравнения (9.6). Характеристическое уравнение есть уравнение n -й степени, следовательно, оно имеет n корней, среди которых могут быть кратные и комплексные. Если k₁, k₂,..., k_n - действительные и различные корни уравнения (9.7), то - частные решения уравнения (9.7), а общее имеет вид

y = .

Рассмотрим подробно линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

y¢¢ + рy¢ +qy = 0. (9.8)

Его характеристическое уравнение имеет вид

k² + рk + q=0 (9.9)

и в зависимости от значения дискриминанта D = р² - 4q возможны три случая.

1. Если D>0, то корни k₁ и k₂ уравнения (9.9) действительны и различны, тогда общее решение имеет вид:

y = c₁ exр(k₁x) + c₂ exр(k₂x).

2. Если D = 0, т.е. корни k₁ и k₂ действительные и равные, то общее решение находится по формуле:

y = (c₁ + c₂x) exр (k₁x).

3. Если D<0, то корни комплексные, k₁ = a + bi, k₂ = a - bi, где i - мнимая единица. Тогда общее решение таково:

y = (c₁ cos bx+c₂ sin bx) exр (ax).

Пример 3.50. Решить уравнение y¢¢ - y = 0.

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид k² - 1 = 0, корни которого k₁ = 1, k₂ = -1 действительны и различны. Общее решение:

y = c₁ e ^x + c₂ e ^-x.

Пример 3.51. Найти общее решение уравнения y¢¢- 4y¢ + 4y = 0.

Решение. Характеристическое уравнение запишется в виде:
k² -4k +4 = 0 или (k - 2)² = 0, т.е. имеет равные корни k₁= k₂ =2, значит, общее решение данного уравнения находится по формуле:

y = e^2x(c₁+c₂x).

Пример 3.52. Найти общее решение уравнения y¢¢+9y = 0.

Решение. Имеем следующее уравнение для нахождения k: k²+9 = 0, откуда k = ±3i, Þ a = 0, b = 3, значит, общее решение имеет вид:

y = c₁ cos 3x + c₂ sin 3x.