Теоретические основы работы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ МИНЕРАЛЬНО-СЫРЬЕВОЙ УНИВЕРСИТЕТ

«ГОРНЫЙ»

Кафедра общей и технической физики

Расчётно-графическое задание №1

Кинематика материальной точки и механика твёрдого тела.

Выполнил: студентка гр. ТПП-13 __________ / Белова Д.В. /

^{(подпись) (Ф.И.О.)}

Проверил: профессор ___________ / _Федорцов А.Б._ /

^{(подпись) (Ф.И.О.)}

Санкт-Петербург

2014 год

Задание. Вариант 3.

Шар радиусом R=0.2 м и массой m=3 кг вращается вокруг оси симметрии согласно уравнению ϕ(t)=E-F*t, где E=5 рад и F=4 рад/с, и одновременно движется поступательно согласно уравнению x(t)=B*t+C*t² –D*t³, где B=10 м/с, С=5 м/с² и D=0.5 м/с³, в направлении вектора момента импульса. На поверхности шара на максимальном удалении от оси вращения нанесена точка N.

1. Рассчитать для 10 значений времени t, лежащих в интервале от 3,4 до 8 с:

А) Полную скорость ν(t) точки N;

Б) Кинетическую энергию шара Е_k(t);

В) Положение шара по координате x(t).

2. Построить по рассчитанным значениям величин зависимости: V(t); E_k(t) и x(t) в интервале времени от 3,4 до 8 с.

3. Рассчитать:

1. Среднюю угловую скорость ω шара за интервал времени от 3,4 до 8 с.

2. Среднее значение углового ускорения за этот же интервал времени.

3. Момент сил М, действующих на шар в момент времени t₂=8 c.

4. Момент импульса шара L в момент времени t₂=8 c.

5. Работу сил, обеспечивающих движение шара за интервал времени от 3,4 до 8 с.

Теоретические основы работы.

Вращательное движение — вид механического движения. При вращательном движении материальной точки она описывает окружность. При вращательном движении абсолютно твёрдого тела все его точки описывают окружности, расположенные в параллельных плоскостях. Центры всех окружностей лежат при этом на одной прямой, перпендикулярной к плоскостям окружностей и называемой осью вращения. Ось вращения может располагаться внутри тела и за его пределами. Ось вращения в данной системе отсчёта может быть как подвижной, так и неподвижной.

Скорость — векторная физическая величина, характеризующая быстроту перемещения и направление движения материальной точки относительно выбранной системы отсчёта; по определению, равна производной радиус-вектора точки по времени. Этим же словом называют и скалярную величину — либо модуль вектора скорости, либо алгебраическую скорость точки, т. е. проекцию этого вектора на касательную к траектории точки.

Вектор скорости материальной точки в каждый момент времени определяется как производная по времени радиус-вектора текущего положения этой точки, так что:

Угловая скорость — физическая величина, являющаяся псевдовектором и характеризующая скорость вращения материальной точки вокруг центра вращения. Вектор угловой скорости по величине равен углу поворота точки вокруг центра вращения в единицу времени:

,

Угловое ускорение — псевдовекторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости материальной точки.

Вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения (в сторону при ускоренном вращении и противоположно — при замедленном).

При вращении вокруг неподвижной точки вектор углового ускорения определяется как первая производная от вектора угловой скорости по времени, то есть

,

Момент силы — векторная физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора (проведённого от оси вращения к точке приложения силы — по определению), на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело.

Момент силы — производная по времени от момента импульса,

,

где — момент импульса. Момент импульса твердого тела может быть описан через произведение момента инерции и угловой скорости.

,

То есть, если I постоянная, то

,

где — угловое ускорение, измеряемое в радианах в секунду за секунду.

Момент импульса характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение.

Для систем, совершающих вращение как целое (как абсолютно твёрдое тело) вокруг одной из осей симметрии (или, обобщенно — вокруг так называемых главных осей инерции тела), справедливо соотношение

где — момент инерции относительно оси вращения, — вектор угловой скорости

Энергия — скалярная физическая величина, являющаяся единой мерой различных форм движения и взаимодействия материи, мерой перехода движения материи из одних форм в другие.

Механическая работа — это физическая величина, являющаяся скалярной количественной мерой действия силы или сил на тело или систему, зависящая от численной величины, направления силы (сил) и от перемещения точки (точек), тела или системы.

Момент инерции — скалярная физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина J_a, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

,

где m_i — масса i-й точки, r_i — расстояние от i-й точки до оси.