Пример расчета нагревания массивного тела

Условие. Металлическая заготовка в форме цилиндра диаметром с начальной температурой нагревается в печи, температура которой поддерживается постоянной. Коэффициент теплоотдачи Нагревание производится до заданной температуры по оси заготовки . Материал – сталь.

Таблица 6

Коэффициенты для расчета охлаждения (нагревания) пластины толщиной

0,00	0,0000	0,0000	1,000	0,55	0,6800	0, 462	1,076
0,01	0,0998	0,0100	1,002	0,60	0,705 1	0,497	1,081
0,02	0,1410	0,0199	1,003	0,70	0,7506	0,564	1,092
0,04	0,1987	0,0397	1,006	0,80	0,7910	0,626	1,102
0,06	0,2425	0,0584	1,010	0,90	0,8274	0,684	1,111
0,08	0,2791	0,0778	1,013	1,00	0,8603	0,740	1,119
0,10	0,3111	0,0968	1,016	1,20	0,9171	0,841	1,134
0,12	0,3397	0,1154	1,020	1,40	0,9649	0,931	1,148
0,14	0,3656	0,1337	1,023	1,60	1,0008	1,016	1,159
0,16	0,3896	0,1518	1,026	1,80	1,0440	1,090	1,169
0,18	0,4119	0,1697	1,029	2,00	1,0769	1,160	1,179
0 20	0,4328	0,1874	1,031	2,2	1,1054	1,222	1,186
0,22	0,4525	0,2048	1,034	2,4	1,1300	1,277	1,193
0,24	0,4712	0,2220	1,037	2,6	1,1541	1,332	1,200
0,26	0,4889	0,2390	1,040	2,8	1,1747	1,380	1,205
0,28	0,5058	0,2558	1,042	3,0	1,1925	1,420	1,210
0,30	0,5218	0,2723	1,045	3,5	1,2330	1,52	1,221
0,35	0,5590	0,3125	1,052	4,0	1,2646	1,59	1,229
0,40	0,5932	0,3516	1,058	4,5	1,2880	1,66	1,235
0,45	0,6240	0,3894	1,064	5,0	1,3138	1,73	1,240
0,50	0,6533	0,4264	1,070	5,5	1,3340	1,78	1,244

Таблица 7

Коэффициенты для расчета охлаждения (нагревания)

длинного цилиндра радиусом

0,00	0,0000	0,0000	1,000	0,55	0,98081	0,962	1,124
0,01	0,1412	0,0200	1,002	0,60	1,0184	1,036	1,134
0,02	0,1995	0,0398	1,005	0,70	1,08731	1,184	1,154
0,04	0,2814	0,0792	1,010	0,80	1,1490	1,322	1,1721
0,06	0,3438	0,1183	1,014	0,90	1,2048	1,453	1,190
0,08	0,3960	0,1569	1,019	1,00	1,2558	1,580	1,2081
0,10	0,4417	0,1951	1,024	1,20	1,3450	1,81	1,239
0,12	0,4726	0,2329	1,029	1,40	1,4250	2,03	1,268
0,14	0,5200	0,2704	1,034	1,60	1,4900	2,22	1,295
0,16	0,5545	0,3075	1,039	1,80	1,5460	2,39	1,319
0,18	0,5868	0,3443	1,044	2,00	1,5994	2,55	1,340
0,20	0,6170	0,3807	1,048	2,2	1,6432	2,70	1,357
0,22	0,6455	0,4167	1,053	2,4	1,6852	2,84	1,375
0,24	0,6726	0,4521	1,057	2,6	1,7234	2,97	1,392
0,26	0,6983	0,4877	1,062	2,8	1,7578	3,09	1,406
0,28	0,7229	0,5226	1,067	3,0	1,7887	3,20	1,420
0,30	0,7465	0,5572	1,071	3,5	1,8547	3,44	1,449
0,35	0,8012	0,642	1,082	4,0	1,9081	3,64	1,472
0,40	0,8516	0,726	1,093	4,5	1,9519	3,81	1,489
0,45	0,8978	0,806	1,103	5,0	1,9898	3,96	1,504
0,50	0,9408	0,888	1,114	5,5	2,0224	4,09	1,516

Теплофизические свойства стали, представленные в табл. 8, принимаем по справочнику [1].

Таблица 8

Теплофизические свойства стали

Параметр
[20°C]	50,5
[1100°C]	28,6
Средние значения	39,6

Далее в расчетах используются средние значения теплофизических свойств.

Расчет времени нагрева до заданной конечной температуры (1100°C):

Определяем число Био по формуле (111):

Безразмерная конечная температура определяется по выражению (74):

По найденным и найдем число по номограмме (см. рис. 4 прил. 5).

Для определение температуры на оси и поверхности для различных моментов времени выбираем значения чисел в интервале от 0,25 до и по номограммам (см. рис. 3, 4 прил. 5) при определяем безразмерные температуры центра и поверхности пластины. Данные, полученные по диаграммам, и результаты расчетов сведены в табл. 9.

Таблица 9

Результаты расчета нагревания термически массивного тела

	0,5		1,5		2,5		3,5		4,5
	0,85	0,65	0,55	0,45	0,35	0,28	0,23	0,18	0,16
	0,7	0,56	0,45	0,36	0,28	0,23	0,18	0,14	0,12
	0,84	1,7	2,5	3,39	4,2	5,1	5,9	6,78	7,62

Пересчет безразмерных температур в размерные производится с помощью выражения (74).

Расчет распределения температур по сечению цилиндра выполняем с помощью аналитических формул. Безразмерная температура длинного цилиндра при нагревании в среде с постоянной температурой выражается уравнением (114)

где - безразмерный коэффициент;

и - функции Бесселя первого рода нулевого и

первого порядка.

Для данного случая, при , из табл. 7 находим Следовательно, при время нагрева Тогда значение безразмерной температуры на оси цилиндра () составит

а значение температуры для этой координаты

Для остальных значений безразмерной координаты расчет производится аналогично.

Для других значений чисел расчет производится аналогично. Итоговые результаты расчета сведены в табл. 10.

Таблица 10

Результаты расчетов

0,5
4,5

Безразмерная координата

Рис. 7. Графики распределения температуры по тощине заготовки