При моделировании поведения производителя с помощью производственной функции делают ряд упрощающих предположений

1. Производится один продукт, объем его производства обозначают TР (от англ. total product – общий продукт). Объем произведенного продукта нередко еще обозначают через Q или q.

2. В случае расхода одного ресурса считают, что этим ресурсом является труд. Затраты труда обозначают L (от англ. labour – труд).

3. В случае нескольких ресурсов считают, что последовательность их использования в производстве не влияет на величину выпуска продукта. В случае двух ресурсов считают, что это труд и капитал. Затраты капитала обозначают К.

4. Непрерывная производственная функция дифференцируема по всем своим аргументам.

5. Используемые ресурсы в той или иной степени способны замещать друг друга в производстве. Это значит, что сокращение затрат одного ресурса можно компенсировать увеличением затрат другого ресурса таким образом, что выпуск продукта останется неизменным.

6. Цель производителя состоит в максимизации выпуска при данных затратах.

Опыт показывает, что производство хорошо описывается производственной функцией Кобба-Дугласа:

,

где P – максимальный объем производства при заданных факторах производства;

L, K, M – затраты труда, капитала и материалов соответственно;

D – положительная константа;

– показатели эластичности объема производства по труду, капиталу и материалам соответственно, не превосходящие единицу:

.

С производственной функцией связан ряд важных характеристик производства. К ним относят общий, предельный и средний продукт.

Общий продукт (ТР) – это общее количество произведенного продукта, величина которого зависит от количества используемых ресурсов.

Предельный продукт (МР) – прирост выпуска продукта при увеличении затрат переменного ресурса на единицу. Если производственная функция непрерывна, то предельный продукт равен производной производственной функции:

Предельный продукт зависит как от производственной функции, так и от исходного набора ресурсов, к которому добавлена дополнительная единица переменного ресурса.

Если предельная полезность никогда не возрастает, то предельный продукт ведет себя несколько иначе. С увеличением расхода ресурса предельный продукт сначала возрастает, а затем убывает.

Снижение предельного продукта переменного ресурса получило название закона убывающей производительности.

На рис. 8.4 изображен график производственной функции в случае, когда используется только один ресурс – труд. Из него видно, что при затратах труда до величины L₁ предельный продукт труда увеличивается (наклон касательной к графику производственной функции увеличивается), затем, достигнув максимального значения, – уменьшается. При затратах труда L₃ предельный продукт принимает значение, равное нулю. Далее общий продукт убывает, а предельный продукт принимает отрицательное значение.

Рисунок 8.4 - Производственная функция для одного ресурса

В случае, когда производственная функция непрерывна предельный продукт труда и предельный продукт капитала выражаются соответствующими частными производными производственной функции:

= ; = .

Для более детального исследования производственной функции рассмотрим средний продукт (AP) – отношение общего продукта к количеству использованного переменного фактора:

.

Средний продукт равен отношению ординаты к абсциссе точки графика производственной функции. На рис. 8.4 видно, что в точке А при затратах труда L ₂ средний продукт равен предельному продукту, поскольку луч ОА совпадает с касательной к производственной функции. Таким образом, если средний продукт равен предельному продукту, то средний продукт максимален. Эта максимальная величина равна тангенсу угла

Можно сделать вывод, что наиболее эффективное использование переменного ресурса (труда) происходит на отрезке от L₁ до L ₂ Здесь предельный продукт МР, достигнув своего максимального значения, начинает убывать, а средний продукт АР еще возрастает (рис. 8.4, 8.5). Именно на этом отрезке на каждую дополнительную единицу затраченного ресурса производитель получает наибольший прирост общего продукта ТР. Участок кривой производственной функции после точки А показывает низкую эффективность использования ресурса.

Рисунок 8.5 - Предельный и средний продукт труда

В этом случае средний продукт труда есть отношение выпуска продукта ТР к затратам труда при некотором фиксированном расходе капитала. Аналогично определяется средний продукт капитала:

.

Пример. При затратах 5 единиц труда и фиксированных затратах других ресурсов средний продукт труда составляет 80 единиц в день. Увеличение затрат труда на одну единицу вызовет рост предельного продукта до 100 единиц продукции. Цена единицы труда равна 80 руб.

а) Найти, чему равен совокупный продукт при использовании 6 единиц труда.

б) Определить, выгодно ли увеличение выпуска продукции с помощью 6-й единицы труда.

Решение: а) Совокупный продукт при использовании 5 единиц труда составляет . Поэтому совокупный продукт при равен .

б) Чтобы определить, выгодно ли использование дополнительной единицы труда, необходимо найти средний продукт труда и сравнить его с величиной предельного продукта капитала, т.е. . Это означает, что данная точка лежит на участке возрастания кривой среднего продукта (см. рис. 8.5). Поэтому увеличение выпуска продукции с помощью 6-й единицы труда выгодно.

Допустим, что производственная функция описывает выпуск продукции в зависимости от затрат труда и капитала. Одно и то же количество продукции можно получить при различных сочетаниях затрат этих ресурсов. Если при всех этих сочетаниях максимально возможный объем выпуска остается постоянным, то эти сочетания изображаются точками, лежащими на одной и той же кривой, которая получила название изокванта (от англ. quantity – количество).

Дадим определение изокванты для данного случая.

Изокванта – изображение на плоскости множества наборов труда и капитала, обеспечивающих одинаковый выпуск продукта (рис. 8.6).

Изокванта – аналог кривой безразличия в теории потребления, отсюда следуют ее основные свойства:

· никакие две изокванты не пересекаются;

· чем дальше от начала координат расположена изокванта, тем больший объем выпуска ей соответствует.

Рисунок 8.6 - Изокванта производственной функции с двумя ресурсами

Отрицательный наклон изоквант объясняется тем, что в данном случае увеличение использования труда при определенном объеме выпуска сопровождается уменьшением количества капитала.

Количество использованных ресурсов (L и K) может постоянно меняться, соответственно будет уменьшаться или увеличиваться максимальный выпуск продукта, и каждый объем будет изображать своя изокванта. Таким образом, на одной плоскости получим так называемую карту изоквант (рис. 8.7).

Так как одно и тоже количество продукции можно получить при разном количестве использования труда и капитала, то возникает вопрос, на сколько нужно увеличить (уменьшить) объем капитала, чтобы уменьшить (увеличить) затраты живого труда на одного человека. Чтобы ответить на этот вопрос, вводят понятие предельной нормы технологического замещения.

Рисунок 8.7 - Карта изоквант

Предельная норма технологического замещения трудом капитала (от англ. marginal rate of technical substitution, MRTS) – величина, на которую нужно уменьшить затраты капитала при увеличении затрат труда на единицу, и при этом сохранить выпуск неизменным:

.

Данный показатель характеризует степень взаимозаменяемости труда и капитала в конкретном производстве.

Свойства предельной нормы технологического замещения:

· предельная норма технологического замещения равна тангенсу угла наклона касательной к изокванте (рис. 8.8);

· предельная норма технологического замещения уменьшается с увеличением расхода труда;

· предельная норма технологического замещения равна отношению предельных продуктов труда и капитала:

MRTS = ;

· предельная норма технологического замещения характеризует относительную роль труда и капитала в конкретном производстве. Чем больше этот показатель, тем больше роль труда в производстве.

Рисунок 8.8 - Определение MRTS_LK через касательную к изокванте

В реальных производственных процессах встречаются два частных случая в конфигурации изоквант. Это ситуация, когда два ресурса абсолютно взаимозаменяемы, и случай, когда они жестко взаимодополняют друг друга. В случае полной заменяемости переменных ресурсов MRTS_LK = const. Тогда изокванта является отрезком прямой, соединяющей точки на координатных осях (рис. 8.9 а). Подобную ситуацию можно представить при возможности полной автоматизации производства.

В ситуации жесткой дополняемости факторов производства предельная норма технологического замещения равна 0 (MRTS_LK = 0), а изокванта представляет собой два взаимно перпендикулярных отрезка, параллельных координатным осям (рис. 8.9 б).

Рисунок 8.9 - Абсолютная заменяемость (а) и жесткая дополняемость (б) труда и капитала

В отличие от потребителя, доход которого предполагается заданным, для фирмы ни расходы на ресурсы, ни выпуск продукции не являются заданными величинами. И то и другое – результат согласованного выбора с учетом ситуации на рынке продукта.

Производитель, приобретая ресурсы для организации производства, ограничен в средствах. Пусть в качестве переменных факторов производства выступают труд и капитал. Они имеют определенные цены, которые за период анализа остаются постоянными (w, r – цена труда и капитала соответственно). Производитель может приобретать необходимые ему ресурсы в определенном сочетании, которое не выходит за рамки его бюджетных возможностей. Тогда сумма расходов на труд и капитал равна величине издержек С:

,

где L – затраты труда, K – затраты капитала.

Данное равенство называют бюджетным ограничением производителя, а график этой функции – изокостой.

Изокоста – изображение на плоскости множества наборов труда и капитала, имеющих одинаковую стоимость.

Изокосту еще называют линией равных затрат предприятия.

Преобразовав уравнение изокосты, получим:

Из этого уравнения видно, что изокоста имеет отрицательный наклон к оси абсцисс, который определяется отношением цен труда и капитала. Изменения затрат производителя и цен на ресурсы приводят к изменению границ бюджетных возможностей производителя:

а) с увеличением средств на приобретение ресурсов, то есть с уменьшением бюджетных ограничений, изокоста сдвинется параллельно самой себе от начала координат (рис. 8.10 а), а при уменьшении средств – к началу координат;

б) при уменьшении цены труда изокоста повернется вокруг точки ее пересечения с осью ординат против часовой стрелки (рис. 8.10 б). При этом цена капитала и затраты производителя не изменяются. А при увеличении этой цены произойдет поворот по часовой стрелке.

Рисунок 8.10 - Бюджетные возможности производителя

Задача производителя заключается в том, чтобы, израсходовав все бюджетные средства на покупку ресурсов, получить максимально возможный объем продукции.

Набор ресурсов на изокосте, который обеспечивает производителю максимальный выпуск продукта, называется равновесным (оптимальным) набором ресурсов.

На рис. 8.11 точка касания изокосты CD и изокванты Е – точка равновесия производителя. Любая изокванта, расположенная ближе к началу координат (изокванта Q₁) дает меньший объем продукта. Изокванты, находящиеся выше Q₂, требуют большего количества затрат, чем может позволить себе производитель. Следовательно, производитель получит желаемый результат только в точке касания изокваты и изокосты.

В точке Е касательная к изокванте и изокоста совпадают, следовательно для оптимальной комбинации ресурсов выполняется равенство или .

Рисунок 8.11 - Определение точки равновесия производителя

Рассмотрим числовой пример, показывающий, как на основе известной производственной функции определить уравнение изокванты и оптимальную комбинацию используемых при производстве ресурсов.

Пример. Производство на некотором предприятии описывается производственной функцией , где Q – объем производства, штук/день; L – объем используемых трудовых ресурсов, человеко-час; К – объем используемого оборудования, станко-час.

а) Найти алгебраическое выражение для изокванты при Q = 200.

б) Найти, в какой пропорции предприятие должно использовать труд и капитал для того, чтобы минимизировать затраты при сохранении выпуска, равного 200 штук в день, если ставка арендной платы за оборудование в час втрое выше ставки часовой оплаты труда.

Решение: а) При Q = 200 выражение приобретает вид . Возведя обе части этого выражения в квадрат, получим или .

б) Обозначим через Р часовую ставку оплаты труда рабочих, тогда часовая ставка аренды оборудования составит 3Р. В соответствии с правилом равновесия производителя составим уравнение:

, где , т.е.

Отсюда находим, что . Значит, труд и капитал должны использоваться в пропорции .

До сих пор мы рассматривали ситуацию, когда увеличение расхода одного ресурса сопровождалось уменьшением расхода другого ресурса. А если одновременно увеличить расходы ресурсов, причем в несколько раз, что произойдет с объемом выпуска продукта? Ответ на этот вопрос можно получить, исследовав такую характеристику производства, как отдача от масштаба производства. Она зависит от относительного увеличения расходов ресурсов и свойств производственной функции.

Существуют три типа отдачи от масштаба производства:

• если выпуск продукта изменяется в той же пропорции, что и расход ресурсов, то говорят о постоянной отдаче от масштаба;
• если выпуск продукта увеличивается в большее число раз по сравнению с расходами ресурсов, то говорят о возрастающей (положительной) отдаче от масштаба;
• если выпуск продукта увеличивается в меньшее число раз по сравнению с увеличением расхода ресурсов, то имеет место убывающая (отрицательная) отдача от масштаба;

Одновременное увеличение расходов ресурсов в одинаковое число раз, называется изменением масштаба производства.

Развитие предприятия в долгосрочном периоде зависит от того, как будут изменяться объемы производства продукта и, соответственно, затраты на приобретение переменных ресурсов. На каждом этапе роста объемов производства производитель стремится получать максимальный объем продукта при данном уровне затрат. Таким образом, соединив точки касания изоквант с изокостами, получим траекторию развития производственной деятельности предприятия или линию оптимального роста, которая на рис. 8.12 показана стрелкой ОМ.

Рисунок 8.12 - Траектория развития предприятия