Отгадать день рождения

ЗАДАЧА

Умение решать неопределенные уравнения дает возможность выполнить следующий математический фокус.

Вы предлагаете товарищу умножить число даты его рождения на 12, а номер месяца – на 31. Он сообщает вам сумму обоих произведений, и вы вычисляете по ней дату рождения.

Если, например, товарищ ваш родился 9 февраля, то он выполняет следующие выкладки:

9 ·12 = 108, 2 ·31 = 62, 108 + 62 = 170.

Это последнее число, 170, он сообщает сам, и вы определяете задуманную дату. Как?

РЕШЕНИЕ

Задача сводится к решению неопределенного уравнения

12 х + 31 у = 170

в целых и положительных числах, причем число месяца х не больше 31, а номер месяца у не больше 12.

Зная, что и , находим границы для t ₁:

.

Следовательно,

t ₁ = 0, x = 9, у = 2.

Дата рождения 9-е число второго месяца, т. е. 9 февраля.

Можно предложить и другое решение, не использующее уравнений. Нам сообщено число а = 12 х + 31 у. Так как 12 x + 24 y делится на 12, то числа 7 у и а имеют одинаковые остатки от деления на 12. Умножив на 7, найдем, что 49 y и 7 а имеют одинаковые остатки от деления на 12. Но 49 y = 48 у + y, а 48 у делится на 12, Значит, у и 7 а имеют одинаковые остатки от деления на 12. Иными словами, если а не делится на 12, то у равен остатку от деления числа 7 а на 12; если же а делится на 12, то y = 12. Этим число у (номер месяца) вполне определяется. Ну, а зная у, уже ничего не стоит узнать х.

Маленький совет: прежде чем узнавать остаток от деления числа 7 а на 12, замените само число a его остатком от деления на 12 – считать будет проще. Например, если а = 170, то вы должны произвести в уме следующие вычисления:

170 = 12 ·14 + 2 (остаток, значит, равен 2);
2 ·7 = 14; 14 = 12 ·1 + 2 (значит, y = 2);
(значит, x = 2).

Теперь вы можете сообщить товарищу дату его рождения: 9 февраля.

Докажем, что фокус всегда удается без отказа, т. е. что уравнение всегда имеет только одно решение в целых положительных числах. Обозначим число, которое сообщил ваш товарищ, через а, так что нахождение даты его рождения сводится к решению уравнения

12 х + 31 у = a.

Станем рассуждать "от противного". Предположим, что это уравнение имеет два различных решения в целых положительных числах, а именно решение x ₁, y ₁ и решение x ₂, y ₂, причем x ₁ и x ₂ не превосходят 31, a y ₁ и y ₂ не превосходят 12. Мы имеем:

Вычитая из первого равенства второе, получим:

.

Из этого равенства вытекает, что число делится на 31. Так как x ₁ и x ₂ – положительные числа, не превосходящие 31, то их разность по величине меньше чем 31. Поэтому число может делиться на 31 только в том случае, когда , т.е. когда первое решение совпадает со вторым. Таким образом, предположение о существовании двух различных решений приводит к противоречию.

<Paaaa