Формационные свойства нильпотентных алгебр

Как уже отмечалось, все алгебры считаются принадлежащими некоторому фиксированному мальцевскому многообразию и используются стандартные обозначения и определения из[1].

Напомним, что для и – конгруэнции на алгебре – говорят, что централизует (записывается: ), если на существует такая конгруэнция , что:

1) из всегда следует

2) для любого элемента всегда выполняется

3) если , то

Очевидно, что для любой конгруэнции на алгебре конгруэнция централизует . В этом случае .

Заметим, что если и – конгруэнции на группе и , то для нормальных подгрупп и группы и любых элементов , имеют место следующие соотношения:

Тогда

и в силу транзитивности из этих соотношений следует, что

По определению 2.1 получаем, что

Следующее определение центральности принадлежит Смиту.

Определение 3.1. , если существует такая , что для любого ,

Докажем, что определение 2.1. эквивалентно определению 3.1. означает условие 1) из определения 2.1. И наоборот, условие 1) означает, что .

Пусть и – конгруэнции, удовлетворяющие определению 2.1. Из условия 2) следует, что для любого элемента ,

Докажем обратное включение.

Пусть . Так как , то из условия 2) следует, что

В силу транзитивности имеем

и, значит, в силу условия 3) . Итак

Покажем, что из определения 3.1. следуют условия 2) и 3) определения 2.1. Если , то

Это означает .

Для получаем, что

откуда .

Согласно работе

Определение 3.2. Алгебра называется нильпотентной, если существует такой ряд конгруэнции

называемый центральным, что

Лемма 3.1. Любая подалгебра нильпотентной алгебры нильпотентна.

Доказательство:

Пусть – подалгебра нильпотентной алгебры . Так как обладает центральным рядом

то для любого на алгебре существует конгруэнция удовлетворяющая определению 2.1. А именно, из

всегда следует

и

1) для любого элемента

всегда выполняется

2) если

и

то

Заметим, что в дальнейшем, для сокращения записи, будем учитывать тот факт, что

тогда и только тогда, когда

Построим следующий ряд конгруэнции на алгебре :

где

Покажем, что этот ряд является центральным. Для этого на алгебре для любого определим бинарное отношение следующим образом:

тогда и только тогда, когда

Покажем, что – конгруэнция на алгебре . Пусть

Тогда

и для любой -арной операции имеем

Следовательно,

Итак, – подалгебра алгебры .

Очевидно, что для любого элемента имеет место

Таким образом, согласно лемме 2.3, – конгруэнция на алгебре .

Пусть

Тогда и так как , то

Если , то и, значит,

т.е.

Пусть, наконец,

Тогда

и так как

Следовательно,

Итак, конгруэнция удовлетворяет определению 2.1. для любого . Лемма доказана.

Лемма 3.2. Пусть и – конгруэнции на алгебре ,

и – изоморфизм, определенный на алгебре .

Тогда для любого элемента отображение

определяет изоморфизм алгебры на алгебру , при котором

Доказательство:

Очевидно, что – изоморфизм алгебры на алгебру , при котором конгруэнции и изоморфны соответственно конгруэнциям и .

Так как , то существует конгруэнция на алгебре , удовлетворяющая определению 2.1. Изоморфизм алебры на алгебру индуцирует в свою очередь изоморфизм алгебры на алгебру такой, что

для любых элементов , .

Но тогда легко проверить, что – конгруэнция на алгебре изоморфная конгруэнции . Это и означает, что

Лемма доказана.

Лемма 3.3. Фактор-алгебра нильпотентной алгебры нильпотентна.

Доказательство:

Пусть

центральный ряд алгебры . Покажем, что для любой конгруэнции на алгебре ряд

является центральным, т.е.

для любого . В силу известных теорем об изоморфизмах для алгебр (см., например, теоремы II.3.7, II.3.11) и леммы 3.2., достаточно показать, что

Пусть – конгруэнция на алгебре , удовлетворяющая определению 2.1. Определим бинарное отношение на алгебре следующим образом

тогда и только тогда, когда найдутся такие элементы , что

и

Непосредственной проверкой убеждаемся, что – конгруэнция на алгебре .

Таким образом осталось показать, что удовлетворяет определению 2.1.

Пусть

тогда из соотношения

следует, что

Так как

то . Итак,

Пусть . Тогда для некоторого элемента , и .

Таким образом,

следовательно,

Так как , то это означает, что

Пусть

где

Покажем, что . В силу определения найдутся , что

и

При этом имеют место следующие соотношения:

Следовательно,

Но тогда по определению 3.2.

А так как , то

Теперь из того, что

следует, что

Лемма доказана.

Доказательство следующего результата осуществляется простой проверкой.

Лемма 3.4. Пусть – конгруэнция на алгебре , . Пологая

тогда и только тогда, когда для любого , получаем конгруэнцию на алгебре .

Лемма 3.5. Прямое произведение конечного числа нильпотентных алгебр нильпотентно.

Доказательство:

Очевидно, достаточно показать, что если , и – нильпотентные алгебры, то – нильпотентная алгебра.

Пусть

центральные ряды алгебр и соответственно. Если , то, уплотнив первый ряд повторяющимися членами, получим центральный ряд алгебры длины . Таким образом, можно считать, что эти ряды имеют одинаковую длину, равную .

Построим теперь ряд конгруэнции на алгебре следующим образом:

где тогда и только тогда, когда , , .

Покажем, что последний ряд является центральным, т.е. для произвольного . Так как

то на алгебрах и соответственно заданы конгруэнци и , удовлетворяющие определению 2.1.

Определим бинарное отношение на алгебре следующим образом:

и только тогда, когда

и

Легко непосредственной проверкой убедиться, что – конгруэнция на алгебре . Осталось показать, что удовлетворяет определению 2.1.

Пусть имеет место

Тогда согласно введенному определению

и

откуда следует, что

т.е.

Пусть

Это означает

Но тогда

и

Следовательно,

Пусть имеет место

Это означает, что

и

Значит, и , т.е. . Лемма, доказана.

Как известно, наследственной формацией называется класс алгебр, замкнутых относительно фактор-алгебр, подпрямых произведений и относительно подалгебр.

Результаты, полученные в леммах 3.1, 3.3, 3.5 можно сформулировать в виде следующей теоремы.

Теорема 7 Класс всех нильпотентных алгебр мальцевского многообразия является наследственной формацией.

Определение 3.3. -арная группа называется нильпотентной, если она обладает таким нормальным рядом

что

и

для любого .

Так как конгруэнции на -арных группах попарно перестановочны (смотри, например,), то это дает возможность использовать полученные результаты в исследовании таких групп.

Лемма 3.6. Пусть – -арная группа. и – нормальные подгруппы группы и .

Тогда , где и конгруэнции, индуцированные соответственно подгруппами и на группе .

Доказательство:

Подгруппы и индуцируют на группе конгруэнции и , определяемые следующим образом:

– -арная операция.

Определим на бинарное отношение следующим образом:

тогда и только тогда, когда существуют такие последовательности элементов и из и соответственно, что

Покажем, что – подалгебра алгебры . Для сокращения записи будем в дальнейшем опускать -арный оператор .

Пусть

Так как , то

Так как , то

Поэтому в силу того, что ,

Итак, – подалгебра алгебры .

Пусть – нейтральная последовательность группы , а, следовательно, и группы . Тогда из определения бинарного отношения следует, что

Тем самым доказало, что – конгруэнция на .

Тo, что удовлетворяет определению 2.1, очевидно. Лемма доказана.

Лемма 3.7. Пусть – нильпотентная -арная группа. Тогда удовлетворяет определению 2.1.

Доказательство:

Так как для любого , то индуцирует конгруэнцию на . Таким образом обладает рядом конгруэнции, который в силу леммы 3.6 будет являться центральным. Лемма доказана.

В частности, для произвольной бинарной группы отсюда следует, что нильпотентна тогда и только тогда, когда, удовлетворяет определению 3.2. В этом случае теорема 3.2 просто констатируе тот факт, что класс всех нильпотентных групп образует наследственную формацию.