Пример 2. Прямой ход включает следующие преобразования расширенной матрицы:

Прямой ход включает следующие преобразования расширенной матрицы:

~

.

Отсюда r ₀= r _p=3 – система совместна, ранг системы r =3 равен числу неизвестных n =3 – решение единственно. Применяя обратный ход, находим: из последней строки: х ₃=3, из второй, строки: 5 х ₂+2 х ₃=16, 5 х ₂=10, х ₂=2, из первой: х ₁+3 х ₂+3 х ₃=16, х ₁=16–3 х ₂–3 х ₃=1; (х ₁, х ₂, х ₃)=(1, 2, 3).

Если исключения выполнить так же, как при обращении матрицы, то в результате матрица А преобразуется в единичную Е, а в столбец, элементы которого равны значениям искомых величин х ₁, х ₂, х ₃, …, х _n, т. е. матрица (А½ ) преобразуется в матрицу (Е ½ ). Эту разновидность метода исключения называют алгоритмом Гаусса-Жордана.

Так для рассматриваемого примера имеем:

,

=(х ₁, х ₂, х ₃)=(1, 2, 3).

Докажем критерий определенности системы (1) в случае m = n.

Теорема 2. Для квадратной матрицы А=А_(n) уравнение А· = имеет единственное решение в том и только в том случае, когда матрица А невырожденная (ранг системы (1) совпадает с числом неизвестных).

Доказательство. Если А невырожденная, то =А^-1· является решением уравнения А· = , так как А· =А·А^-1 = Е · = . Пусть – другое решение: А· = , тогда =А^-1· и – = , то есть = – решение единственно.

Обратно, если решение единственно, то уравнение А· = имеет только тривиальное ( = ) решение, а тогда ранг матрицы А r (А_(n))= n и матрица невырожденная (в противном случае существует нетривиальное решение).

В случае, когда число уравнений m совпадает с числом неизвестных n, мы сформулируем без доказательства ставшее классическим правило Крамера для решения системы (1). Оно является важным теоретическим результатом и даже полезным, когда порядок матрицы системы невелик.

Теорема 3. (Крамер). Если определитель ∆ системы отличен от нуля (∆=½А½¹0), то система (1) (при m = n) имеет единственное решение, которое находится по формулам: , i =1, 2, …, n, где ∆_i () получается из определителя системы ∆ заменой i -го столбца коэффициентов матрицы А_(n)=(а _ij) столбцом свободных членов .

Пример 3. Найдем решение системы из примера 6, § 1 по формулам Крамера:

Определитель системы отличен от нуля. Вычислим определители:

, .

Тогда система из двух уравнений с двумя неизвестными имеет единственное решение:

, ,

или (x ₁, x ₂)=(1/2, 3/2).

При m = n и ∆ ¹0 в системе (1) формулы Крамера, записанные в векторной форме, позволяют компактно определить обратную матрицу А^-1 к матрице А=А_(n) и найти решение уравнения А· = матричным способом по формуле: =А^-1· .

Действительно, разлагая определитель ∆_j() по элементам j –го столбца будем иметь:

, где =(А_1j, А_2j, …, А_nj) j -ая вектор- строка из алгебраических дополнений матрицы А с соответствующим элементам вектор- столбца =(b ₁, b ₂, …, b _n), j =1, 2, …, n.

Тогда получим:

,

, - обратная матрица к матрице , где в матрице А^-1 на месте (i, j) стоит алгебраическое дополнение А_ij элемента а _ij матрицы А; i, j =1, 2, …, n.

Пример 4. Решить матричным способом систему (см. пример 2):

Вычислим определитель ∆ системы, используя его свойства:

.

Так как ∆ =26¹0, то матрица

- невырожденная и существует обратная к ней:

.

Найдем алгебраические дополнения А_ij элементов а _ij матрицы А:

, , ,

, , ,

, , .

Получим обратную матрицу (сделайте проверку):

и решение системы А· = по формуле =А^-1· :

.

Из теоремы 2 и теоремы 3 вытекает следующее.

Следствие. Пусть А=А_(n) – квадратная матрица однородной системы (1) из n уравнений с n неизвестными.

Для того, чтобы однородная система имела единственное тривиальное решение = =(0, 0, …, 0), необходимо и достаточно, чтобы определитель системы ∆ был не равен нулю (∆ =½А½¹0).

Необходимость выполнения условий следствия, то есть ½А½¹0, следует из теоремы 2, а также из таких рассуждений. Любое решение (х ₁, х ₂, …, х _n) однородной системы можно записать в векторной форме: х ₁ + х ₂ +…+ х _n = , где – вектор-столбец коэффициентов при х _i, i =1, 2, …, n. Следовательно, единственное тривиальное решение х ₁= х ₂=…= х _n=0 в этой линейной комбинации означает линейную независимость n вектор–столбцов матрицы А, ранг r (А)= n. Что равносильно неравеству нулю определителя матрици (½А½¹0).

Достаточность следует из теоремы 3, так как при = все определители ∆ _j()=0 (равносильно: =А^-1· = (и имеем только тривиальное решение.

Пример 5. Решить систему:

Так как определитель системы ∆ =26 (см. пример 4) не равен нулю, то система имеет только тривиальное решение: х ₁= х ₂= х ₃=0.

Date: 2015-12-10; view: 356; Нарушение авторских прав