Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Полная проблема собственных значений. Метод итерацийПростота и легкость программирования метода итераций для определения старшего собственного числа объясняет стремление применить этот метод к определению остальных собственных чисел, т.е. применить метод итераций к решению полной проблемы собственных значений. Равенство (1.1) записано для одного собственного числа. Матричный аналог этого равенства выглядит следующим образом:
, (1.5) где - диагональная матрица n – го порядка на главной диагонали которой расположены собственные числа. матрица, составленная из собственных векторов, записанных по столбцам. Отметим очень важное свойство собственных векторов – свойство ортогональности: при . В матричной форме это условие записывается так: где - диагональная матрица. Обычно нормируют собственные вектора: , тогда условие ортогональности примет вид: , (1.6)
где Е – единичная матрица. Из (1.6) следует, что для нормированных собственных векторов
(1.7) а также (1.8) В результате очередной итерации по формулам (1.4) получаем
(1.9)
где - нормированный, а – ненормированный вектор. Находим нормирующий множитель (1.10)
и затем нормированный вектор
(1.11) Отсюда имеем (1.12)
Сравнивая с (1.4), замечаем, что нормирующий множитель после очередной итерации i = . (1.13)
В (1.9) –(1.13) i – номер итерации, а не номер собственного числа. С учетом (1.7) выражение (1.5) можно записать в виде:
(1.14)
Переходя к векторной форме записи, получим:
После перемножения матриц в правой части, имеем:
(1.15)
Обозначим
. (1.16)
Тогда , , (1.17) ………………………………………… ,
Применим к (1.17) метод итераций и найдем старшие собственные числа и собственные векторы матриц Ai. Здесь i – номер собственной формы. Предполагаем, что правые части (1.15), (1.17) записаны в порядке убывания собственных чисел. Тогда из Ai методом итераций находится и . Таким образом, имеем следующую схему решения полной проблемы собственных значений матрицы A: а) методом итераций из A находим , по формулам (1.9) – (1.13) б) по (1.16) определяем A 1, в) методом итераций из A 1 находим и , г) по (1.16) определяем A 2, и т.д. повторяем процесс, пока не найдем все n собственных чисел.
Пример №8. Найти все собственные векторы и собственные числа матрицы
Применяем, описанный выше метод итераций к матрице А. Вычисления велись на ПК в программе Excel.
Находим 139.658735, . По формуле (1.16) вычисляем
Применив метод итераций к А1, находим = 18,03255539, . По формуле (1.16) вычисляем
Применив метод итераций к А2, находим
= 6,577921363, . По формуле (1.16) вычисляем
Применив метод итераций к А3, находим = 1,730788224, . Применив еще раз формулу (1.16), находим
Элементы матрицы А4, которые должны бать равны нулю, позволяют оценить точность расчетов. Как видно, погрешность имеет порядок 10-12, что очень хорошо, если учесть значения элементов матрицы А3, имеющие порядок 10-0.
|