Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?

Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Собственные числа и собственные векторы матриц





 

(1.1)

 

Если для квадратной матрицы A можно найти вектор и число , от­вечающие выражению (1.1), то этот вектор и это число называются собственным значением и собственным вектором матрицы A.

Решение (1.1) на первый взгляд несложно. В частности, из (1.1) сле­дует система линейных уравнений, коэффициенты которых выража­ются через элементы матрицы Aи собственные числа :

(1.2)

Система однородных линейных уравнений (1.2) имеет ненулевое ре­шение в том случае, если определитель матрицы коэффициентов равен нулю:

. (1.3)

 

Для матрицы A – порядка n уравнение (1.3) есть алгебраическое урав­нение степени n, решив которое можно найти n собственных чисел , i=1,2,…..n, после их подстановки в (1.3) и решения n систем однородных линейных уравнений n – го порядка можно получить n – собственных век­торов.

 

Пример №6:

 

Дано:

 

Найти: собственные числа собственные векторы

 

Решение: составим характеристическое уравнение (1.3):

 

 

Корни этого уравнения есть собственные числа мат­рицы А: , . Находим собственные векторы, подставив значение в (1.2):

,

 

откуда , из условия нормирования находим , . Аналогично находим компоненты второго собственного век­тора, после подстановки в (1.2) :

 

,

откуда , из условия нормирования находим , .

Таким образом, найдены матрицы собственных значений , и собственных векторов .

Из изложенного выше следует, что описанный метод хорош только для матриц невысокого порядка и приводит к существенным вычислитель­ным трудностям при больших n.

Для матриц высокого порядка очень эффективен способ итераций, который состоит в следующем: задаются произвольным вектором , затем используют (1.1), проводя вычисления по схеме:

……… (1.4)

до тех пор, пока в пределах требуемой точности , не совпадут с , .

В (1.4) i это не номер собственного значения, а номер приближения для одного и того же собственного числа. Процесс (1.4) довольно быстро сходится к большему по величине собственному числу и к соответствую­щему ему собственному вектору. Следовательно, методом итераций можно найти только старшее собственное число.



Пример №7:

Дано:

Найти старшее собственное число соответствующий ему собствен­ный вектор.

Решение: зададим нормальный вектор: после чего действуем по (1.4).

После первой итерации находим

 

92,504053965=

После второй итерации:

 

.

…………………………………………………………………………………………

После четвертой итерации: , .

 






Date: 2015-12-10; view: 183; Нарушение авторских прав

mydocx.ru - 2015-2019 year. (0.005 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию