Решение. 1. Для того чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вычесть координаты его начала

Задание 1

Пусть даны точки A(4; 2; 5), B(0; 7; 2), C(0; 2; 7), D(1; 5; 0).

1. Для того чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вычесть координаты его начала. Тогда Аналогично находим координаты остальных векторов:

Найдём длины векторов:

Запишем разложение этих векторов по базису :

2. Используя правила действия с векторами, получаем:

1. Внутренний угол ABC определяется как угол между векторами и Предварительно найдём координаты этих векторов: . Затем, используя формулы для вычисления скалярного произведения векторов и длины векторов, найдем косинус внутреннего угла ABC:

Задание 2.

Пусть даны точки A(4; 2; 5), B(0; 7; 2), C(0; 2; 7), D(1; 5; 0).

1. Треугольник ABC построен на векторах и Для вычисления площади основания ABC найдём векторное произведение этих векторов: . Площадь треугольника ABC равна модуля векторного произведения:

2. Пирамида ABCD построена на векторах Объём пирамиды ABCD вычисляется как модуля смешанного произведения этих векторов: . Так как смешанное произведение векторов равно определителю, составленному из координат этих векторов, то . Тогда

3. Длину высоты пирамиды DO, опущенную из вершины D на основание ABC, определим как расстояние от точки D до плоскости ABC. Для этого составим общее уравнение плоскости ABC. Будем использовать уравнение плоскости, проходящей через три точки A, B и C:

x+2y+2z-18=0.

Используя формулу нахождения расстояния от точки до прямой, получаем:

Итак, длина высоты DO равна 2.

Задание 3.

Пусть даны точки A(1; 3; 0), B(4; -1; 2), C(3; 0; 1), D(1; 2; 3).

1. Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три точки A, B и C:

.

Раскрывая определитель и преобразуя полученное уравнение, получим общее уравнение плоскости ABC: 2x+y-z-5=0.

2. Для составления канонических и параметрических уравнений прямой AD, нам понадобится точка, лежащая на этой прямой (можно взять точку A или D), и направляющий вектор этой прямой. В качестве направляющего вектора прямой AD можно взять вектор Тогда канонические уравнения прямой AD принимают вид:

параметрические: