Задачи контрольной работы

В ЗАДАЧАХ 1-10 вычислить определитель: а) разложением по первой строке; б) по правилу треугольника; в) с помощью элементарных преобразований. Найти обратную матрицу.

1.	2.	3.	4.	5.
6.	7.	8.	9.	10.

В ЗАДАЧАХ 11-20 решить следующие матричные уравнения: , и .

11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.

В ЗАДАЧАХ 21-30 решить систему уравнений: а) с помощью формул Крамера; б) методом Гаусса; в) с помощью обратной матрицы.

21.

22.

23.

24.	25.	26.
27.	28.	29.
30.

В ЗАДАЧАХ 31-40 даны координаты вершин треугольника . Найти:

1) длины сторон треугольника;

2) систему линейных неравенств, определяющих треугольник;

3) уравнение прямой, на которой лежит высота , и длину высоты;

4) координаты центра вписанной окружности.

Построить заданный треугольник и все линии на координатной плоскости.

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНОЙ

РАБОТЫ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ТИПА 1–10

Задача. Вычислить определитель 1) разложением по первой строке; 2) по правилу треугольника; 3) с использованием элементарных преобразований.

Решение. 1) Воспользуемся формулой

.

В нашем случае

.

2) Правило треугольника имеет вид

.

Применяя это правило для вычисления заданного определителя, получаем

.

3) Получим с помощью тождественных преобразований из исходного определителя новый, который содержит два нулевых элемента, например, в первом столбце. Для этого сначала умножим первую строку заданного определителя на и результат прибавим ко второй строке определителя. Затем умножим первую строку исходного определителя на и результат прибавим к третьей его строке. В результате получим следующий определитель, равный данному: . Теперь находим значение полученного (а значит, и исходного) определителя с помощью его разложения по элементам первого столбца:

= .

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ТИПА 11-20

Задача. Пусть , , . Требуется решить уравнения 1) , 2) , 3) .

Решение. 1)Вычислим определитель матрицы А:

.

Так как , то обратная матрица существует.

Умножим матричное уравнение на слева и проведем преобразования с учетом свойств матричных операций:

,

.

В результате получаем

.

Находим обратную матрицу по формуле , где – присоединенная матрица. Для этого вычисляем алгебраические дополнения элементов матрицы A: , , , . Таким образом, , т.е.

.

Теперь вычисляем искомую матрицу (решение рассматриваемого матричного уравнения):

.

Выполняем проверку:

.

Проверка дала верное равенство, т.е. уравнение решено правильно.

2) Умножим матричное уравнение на справа и проведем преобразования с учетом свойств матричных операций:

,

.

В результате получаем формулу

.

Так как , то

.

Выполняем проверку:

.

Вывод: уравнение решено верно.

3) Умножаем сначала матричное уравнение на слева, а затем полученный результат – на справа. В результате искомое решение уравнения выражается формулой

.

Ищем :

; ;

.

Теперь имеем

.

Остается осуществить проверку правильности полученного результата (сделайте это сами).

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТИПА 21–30

Задача1. Т ребуется, используя формулы Крамера, решить систему

Решение. Подсчитаем сначала главный определитель системы , воспользовавшись его разложением по элементам первой строки:

.

У нас

Так как , делаем вывод о том, что система имеет единственное решение. Для его отыскания вычислим вспомогательные определители :

Далее, используя формулами Крамера, окончательно получаем:

Осуществим проверку правильности решения, подставив его в левую часть каждого уравнения заданной системы:

Все три равенства верные, поэтому делаем вывод о правильности полученного решения

Задача 2. Решим систему уравнений из задачи 1 методом Гаусса последовательного исключения неизвестных.

1) Сначала умножим первое уравнение системы на и результат сложим со вторым уравнением системы. Затем первое уравнение системы умножим на (–3) и результат сложим с третьим ее уравнением. В результате указанных тождественных преобразований система примет вид, в котором лишь первое уравнение будет содержать неизвестную величину x:

2) Займемся исключением неизвестной y из третьего уравнения последней системы. Для этого умножим второе ее уравнение на и сложим полученный результат с третьим уравнением. В результате получим новую систему, равносильную заданной:

Теперь из третьего уравнения получаем , затем из второго – и наконец из первого – . Система решена.

Задача 3. Cистему уравнений записать в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы.

Решение. Обозначим через матрицу коэффициентов при неизвестных, через – матрицу-столбец неизвестных , а через – матрицу-столбец свободных членов:

, , .

С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму:

. (1)

Если матрица невырожденная, т.е. её определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу . Умножив обе части уравнения (1) слева на , получим

,

т.е.

. (2)

Равенство (2) называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений (1) необходимо вычислить обратную матрицу .

Пусть имеем невырожденную матрицу

.

Тогда обратная матрица определяется по формуле

,

где (i= 1, 2, 3; j =1, 2, 3) – алгебраическое дополнение элемента в определителе матрицы , которое является произведением на минор (определитель) второго порядка, полученный вычеркиванием i -й строки j -го столбца в определителе матрицы .

Вычислим определитель и алгебраические дополнения его элементов:

, следовательно, матрица имеет обратную матрицу ;

, ,

, ,

, ,

, ,

.

Отсюда

.

По формуле (2) находим решение данной системы уравнений в матричной форме:

Отсюда имеем , , .

Остается сделать проверку, которую предлагаем сделать читателю самостоятельно.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ТИПА 31–40

Задача. Даны координаты вершин треугольника : Требуется найти:

1) длину стороны ;

2) уравнения сторон и , их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол при вершине в радианах с точностью до 0,01;

4) уравнение медианы ;

5) уравнение и длину высоты ;

6) уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой и точку ее пересечения с высотой ;

7) уравнение окружности с центром в точке , проходящей через вершину .