Основная. 1.Савельев И.В. Курс общей физики

.

Второй закон Ньютона

или ,

где F — результирующая сила, действующая на материальную точку, F d t - импульс силы, вызвавшей изменение импульса d p.

Одна из форм записи второго закона Ньютона для тел с постоянной массой

.

Силы, рассматриваемые в механике:

а) сила упругости

,

где k — коэффициент упругости (в случае пружины применяется также название — жесткость); х — абсолютная деформация;

б) сила тяжести

;

в) сила гравитационного взаимодействия

,

где G — гравитационная постоянная; т ₁ и m ₂ — массы взаимодействующих тел; r — расстояние между телами (тела рассматриваются как материальные точки);

г) сила трения скольжения

,

где f — коэффициент трения скольжения; N — сила нормального давления.

Закон сохранения импульса для системы из N материальных точек

или для двух тел (i =2)

,

где v ₁ и v ₂— скорости тел в начальный момент времени (например, до соударения), u ₁ и u ₂— скорости тех же тел в конечный момент времени (например, после соударения).

Центр масс (инерции) системы — точка: положение которой определяется радиусом вектором

,

где r _i — радиус-вектор точки системы массой m_i.

Импульс системы равен произведению массы всей системы на скорость движения ее центра масс

.

В однородном поле силы тяжести центр масс совпадает с центром тяжести — точкой системы или тела, к которой приложена равнодействующая всех сил тяжести, действующих на систему или тело. Сумма моментов сил тяжести относительно центра тяжести равна нулю.

Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно,

или

Потенциальная энергия:

а) деформированной упругой пружины

,

б) гравитационного взаимодействия

,

в) тела, находящегося в однородном поле силы тяжести

,

где h — высота тела над уровнем, принятым за нулевой (формула справедлива при условии h<<R, где R— радиус Земли).

Закон сохранения механической энергии (выполняется в поле консервативных сил)

.

Элементарная работаd А, совершаемая результирующей силой F за бесконечно малый промежуток времени d t, определяется как скалярное произведение

,

где d r — перемещение тела за время d t, a — угол между направлениями силы и перемещения.

Работа А, совершаемая результирующей силой, может быть определена также как мера изменения кинетической энергии материальной точки:

.

Мгновенная мощность определяется формулой

.

Момент силы материальной точки или тела относительно любой выбранной неподвижной точки (полюса) определяется как векторное произведение

,

где r — радиус вектор, направленный от полюса к материальной точке или, в случае тела, к точке приложения силы F.

Момент импульса материальной точки относительно неподвижной точки (полюса)

,

где p — импульс точки.

В случае тела момент импульса равен векторной сумме моментов импульса всех N точек тела относительно полюса

,

Основное уравнение динамики вращательного движения тела относительно любой точки (полюса)

,

где M — результирующий момент внешних сил, действующих на тело, относительно полюса; L — момент импульса тела относительно полюса.

Основное уравнение динамики вращательного движения тела относительно неподвижной оси z записывается в форме

, если ,

или , если J_z изменяется со временем.

Здесь М_z — результирующий момент внешних сил, действующих на тело, относительно оси z (или проекция на ось z результирующего момента внешних сил M относительно любой точки оси z); ε —угловое ускорение; J_z — момент инерции тела относительно оси вращения z.

Значение момента силы М_z определяется как

,

где F — сила, действующая на тело, l — плечо силы, т.е. кратчайшее расстояние (перпендикуляр) от оси вращения z до прямой, вдоль которой действует сила (линии действия силы).

Момент инерции материальной точки массой m относительно оси z

,

где r — радиус вращения точки вокруг оси z.

Момент инерции относительно оси z системы или тела, которые состоят из N материальных точек, равен сумме моментов инерции этих точек относительно данной оси

.

Моменты инерции некоторых однородных симметричных тел массой m относительно оси симметрии z, проходящей через центр масс:

а) стержня длиной l относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину

;

б) обруча (или тонкостенного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча (плоскости поперечного сечения цилиндра) и проходящей через его центр

,

где R — радиус обруча (цилиндра);

в) диска (однородного цилиндра) радиусом R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр

;

г) шара радиусом R относительно оси, проходящей через его центр

.

Момент инерции тела массой m относительно произвольной оси z, не проходящей через центр масс (теорема Штейнера):

,

где J_c — момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс и параллельной оси z, d — расстояние между этими осями.

Момент импульса относительно неподвижной оси z тела, вращающегося относительно данной оси с угловой скоростью ω (или проекция момента импульса L тела на ось z),

.

Закон сохранения момента импульса системы N тел, вращающихся вокруг неподвижной оси z,

.

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z,

или

Период физического маятника

,

где J — момент инерции физического маятника относительно горизонтальной оси, не проходящей через центр масс, d — расстояние от точки подвеса до центра масс.

Приведенная длина физического маятника

.

Период математического маятника

,

где l — длина математического маятника.

Период пружинного маятника

,

где m — масса маятника, k — жесткость пружины.