Дискретные случайные величины

Пример 12. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается четыре выигрыша по 5 тысяч рублей; пять выигрышей по 4 тысячи рублей и одиннадцать выигрышей по 1 тысячи рублей.

а) Составить ряд распределения случайной величины X – размер выигрыша по одному купленному билету.

б) Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины.

в) Записать функцию распределения и построить ее график.

Решение

а) Случайная величина X – размер выигрыша по одному купленному билету.

Возможные значения случайной величины:

0; 1; 4; 5.

Вероятность выиграть 5 тысяч рублей по одному билету:

Аналогично определяются вероятности остальных значений случайной величины.

Ряд распределения имеет вид:

б) Найдем числовые характеристики случайной величины.

в) Найдем функцию распределения случайной величины F (x).

По определению: F (x) = P (X < x).

1) Пусть x = 0, найдем F (x):

F (0) = P (X < 0), то есть вероятность того, что выигрыш по лотерейному билету будет меньше нуля, но это невозможное событие, значит P (X < 0) = 0 и F (0) = 0.

Очевидно, что для всех чисел из промежутка (–∞; 0] значение функции распределения будет таким же: x ≤ 0: F (x) = 0.

2) Пусть x = 1, найдем F (x):

F (1) = P (X < 1), то есть вероятность того, что выигрыш по лотерейному билету будет меньше 1, т.е. выигрыш будет равен нулю: F (1) = P (X < 1) = P (X = 0) = 0,8.

Очевидно, что для всех чисел из промежутка (0; 1] значение функции распределения будет таким же: 0 < x ≤ 1: F (x) = 0,8.

3) Пусть x = 4, найдем F (x):

F (4) = P (X < 4), то есть вероятность того, что выигрыш по лотерейному билету будет меньше 4, значит выигрыш равен нулю или равен 1 т.р.:

F (4) = P (X < 4) = P (X = 0) + P (X = 1) = 0,8 + 0,11 = 0,91.

Очевидно, что для всех чисел из промежутка (1; 4] значение функции распределения будет таким же: 1 < x ≤ 4: F (x) = 0,91.

4) Пусть x = 5, найдем F (x):

F (5) = P (X < 5), то есть вероятность того, что выигрыш по лотерейному билету будет меньше 5, значит равен нулю или 1 т.р. или 4 т.р.:

F (5) = P (X < 5) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 4) = 0,8 + 0,11 + 0,05 = 0,96

Очевидно, что для всех чисел из промежутка (4; 5] значение функции распределения будет таким же: 4 < x ≤ 5: F (x) = 0,96.

5) Пусть x > 5, например, x = 6; найдем F (x):

F (6) = P (X < 6), то есть вероятность того, что выигрыш по лотерейному билету будет меньше 6, а это достоверное событие – в любом случае выигрыш будет меньше 6 т.р. (возможные значения 0; 1; 4; 5), поэтому: F (6) = 1.

Очевидно, что для всех чисел больших 5, то есть из промежутка (5; +∞) значение функции распределения будет таким же: x > 5: F (x) = 1.

Получаем:

Построим ее график:

Ответ:

V. СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Основная литература

1. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие / В. Е. Гмурман. – 12-е изд. – М.:Юрайт, 2013. – 480с.

2. Палий, И. А. Теория вероятностей [Электронный ресурс]: учеб. пособие / И. А. Палий. – М.: ИНФРА-М, 2011. – 236 с. – (Высшее образование). – Режим доступа: http://znanium.com

3. Теория вероятностей и математическая статистика [Электронный ресурс]: учеб. пособие / В. С. Мхитарян [и др.]; под ред. В. С. Мхитаряна. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Московский финансово-промышленный университет «Синергия», 2013. – 336 с.– (Университетская серия). – Режим доступа: http://znanium.com

Дополнительная литература

4. Гмурман, В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособие / В. Е. Гмурман. – 11-е изд., перераб. и доп. – М.:Юрайт, 2013. – 404с.

5. Чупрунов, А. Н. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие / А. Н. Чупрунов; Институт экономики, управления и права (г. Казань), Экономический факультет, Кафедра высшей математики. – Казань: Познание, 2010. – 63с.

6. Павлов, С. В. Теория вероятностей и математическая статистика [Электронный ресурс]: учеб. пособие / С. В. Павлов. – М.: ИЦ РИОР: ИНФРА-М, 2010. – 186 с. – (Карманное учеб. пособие). – Режим доступа: http://znanium.com

7. Шапкин, А. С. Задачи с решениями по высшей математике, теории вероятностей, математической статистике, математическому программированию [Электронный ресурс]: учеб. пособие / А. С. Шапкин, В. А. Шапкин. – 8-е изд. – М.: Издательско-торговая корпорация "Дашков и Кº", 2013. – 432 с. – Режим доступа: http://znanium.com

8. Теория вероятностей и математическая статистика [Электронный ресурс]: учеб. пособие / под ред. В. И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2004. – 287 с. – (Высшее образование). – Режим доступа: http://znanium.com

9. Балдин, К. В. Теория вероятностей и математическая статистика [Электронный ресурс]: учебник / К. В. Балдин, В. Н. Башлыков, А. В. Рукосуев. – 2-е изд. – М.: Издательско-торговая корпорация "Дашков и Кº", 2010. – 473 с. – Режим доступа: http://znanium.com

10. Салахутдинов, Р. З.Практические занятия по курсу "Математика". Математическая статистика: учеб. пособие для студентов экономических факультетов и фак-та менеджмента и маркетинга / Р. З. Салахутдинов, З. А. Еникеева. – Казань: Познание, 2009. – 47с.