Проекция вектора на ось

Пусть в пространстве задана ось l, то есть направленная прямая.

Определение. Проекцией точки М на ось l называется основание перпендикуляра , опущенного из точки М на ось.

Определение. Пусть . Углом между двумя ненулевыми векторами и называется наименьший угол , на который надо повернуть один из векторов до его совпадения со вторым. Векторы и необходимо привести к общему началу О.

Определение. Углом между вектором и осью l называется угол между векторами и - единичный вектор (орт) оси l.

Пусть - произвольный вектор (). Обозначим через и проекции на ось l соответственно начала А и конца В вектора . Вектор называется составляющей вектора по оси l

и обозначается .

Определение. Проекцией вектора на ось l называется положительное число , если вектор и ось l сонаправлены, отрицательное число , если вектор и ось l противоположно направлены и 0, если .

Проекция вектора на ось l обозначается .

Основные свойства проекций:

1.Проекция вектора на ось l равна произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью, то есть

. (2.1)

Следствие 1. Проекция вектора на ось положительна, если вектор образует с осью острый угол, отрицательна, если этот угол – тупой, и равна нулю, если этот угол – прямой.

Следствие 2. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.

2. Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме их проекций на эту ось.

(2.2)

3.При умножении вектора на число его проекция на ось также умножается на это число, то есть

(2.3)

Заметем, что проекция вектора на ось l и его составляющая связаны соотношением

(2.4)

Пример 3. Вектор образует с осью l угол , длина вектора равна 6. Найти .

Решение. По условию , тогда . Для нахождения проекции вектора на ось l воспользуемся формулой (2.1)

Пример 4. Вектор Найти .

Решение. Воспользуемся формулой (2.2)

.

Пример 5. Вектор . Длина вектора равна 5. Угол между вектором и осью l равен . Найти .

Решение. Воспользуемся формулой (2.3)