Методы их вычисления

Определение. Выражение

называется определителем четвертого порядка. Этот определитель можно записать в виде:

, (1.6)

где -минор элемента, стоящего на пересечении i-ой строки и j-го столбца, A_ij-алгебраическое дополнение этого элемента.

Формулу (1.6) можно записать с помощью значка суммирования :

, (1.7)

где i=1,2,3,4.

Формула (1.7) называется разложением определителя по элементам i-ой строки. Можно записать и разложение определителя по элементам j-го столбца:

(1.8)

где j=1,2,3,4.

Метод понижения порядка определителя основан на обращении всех, кроме одного, элементов строки или столбца определителя в нуль с помощью свойств определителей.

Пример 11. Вычислить определитель

.

Решение. Прибавим элементы первой строки к элементам второй строки.

.

Элементы первой строки умножим на (-2) и прибавим к элементам третьей строки

.

Элементы первой строки умножим на (-1) и прибавим к элементам четвертой строки

.

Разложим полученный определитель по элементам первого столбца

Переставим первые две строки, при этом знак определителя изменится на противоположный, одновременно вынесем общий множитель 3 элементов третьего столбца за знак определителя

.

Умножим элементы первой строки на (-2) и прибавим к элементам второй строки .

Полученный определитель разложим по элементам второй строки

Пример 12. Вычислить определитель .

Решение. Поменяем местами первую и вторую строки, при этом по свойству 2 знак определителя изменится на противоположный

.

Сначала элементы первой строки умножим на (-2) и прибавим к элементам второй и четвертой строк, а затем элементы первой строки умножим на (-3) и прибавим к элементам третьей строки, получим:

.

Элементы второй строки прибавим к элементам четвертой строки

.

Элементы третьей строки умножим на (-1) и прибавим к элементам четвертой строки

.

Получим определитель треугольного вида, значение которого равно произведению элементов главной диагонали .

Пример 13. Вычислить определитель

.

Решение. Разложим определитель по элементам третьей строки

Полученные определители третьего порядка вычислим по правилу треугольника