Свойства определителей

Следующие свойства справедливы для определителей любого порядка, позволяют упростить вычесления определителей.

Свойство 1. (Транспонирование строк и столбцов). Определитель не меняет своего значения, если его строки заменить столбцами с теми же номерами, а столбцы строками, то есть

.

Введенное действие называется транспонированием строк и столбцов.

Свойство 2. Если переставить две строки (столбца) определителя, то знак значения определителя изменится на противоположный:

.

Свойство 3. Если определитель имеет две одинаковых строки или два одинаковых столбца, то он равен нулю:

.

Свойство 4. Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно выносить за знак определителя:

.

Свойство 5. Если все элементы какого-либо ряда определителя равны нулю, то определитель равен нулю:

.

Свойство 6. Если две строки (столбца) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю:

.

Свойство 7. Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой сумму двух слагаемых, то определитель можно представить в виде суммы двух определителей, у которых все ряды, кроме данного, прежние, а в данном ряду в первом определителе стоят первые слагаемые, а во втором определителе – вторые:

.

Свойство 8. Величина определителя не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) определителя прибавить элементы параллельной строки (столбца), умноженные на одно и тоже число:

.

Пример 8. Вычислить определитель

, используя свойства определителей.

Решение. Элементы первого и второго столбцов данного определителя пропорциональны , поэтому, согласно свойства 6, данный определитель равен нулю, то есть .

Пример 9. Вычислить определитель

, используя свойства определителей.

Решение. Используя свойство 8, приведем данный определитель к треугольному виду. Для этого элементы первой строки умножим на (-1) и прибавим к элементам второй строки:

.

Элементы первой строки умножим на (-4) и прибавим к элементам третьей строки:

.

Элементы второй строки умножим на 2 и прибавим к элементам

третьей строки:

.

Получили определитель треугольного вида (под главной диагональю определителя все элементы равны нулю), и поэтому значение определителя будет равно произведению элементов главной диагонали преобразованного определителя:

.

Пример 10. Вычислить определитель

, используя свойства определителей.

Решение.

.

Воспользовались свойством 7, а так как в первом полученном определителе первые две строки одинаковые, то по свойству 3 этот определитель равен нулю, поэтому

.

Элементы третьей строки содержат общий множитель 2, который, согласно свойства 4, можно вынести за знак определителя:

.

Полученный определитель содержит две одинаковые строки вторую и третью, поэтому по свойству 3 этот определитель, а значит и данный, равен нулю:

.