Використаємо формули

де ,

.

Тут n =3, поскільки маємо 4 вершини. Звідси

,

,

,

.

, .

Таким чином

Коефіцієнти для кривої Без’є:

Складена кубічна крива Без’є – це неперервна крива γ, що є об’єднанням елементарних кубічних кривих γ₀, γ₁, …, γ_l, тобто

.

Для побудови складеної кривої Без’є розбиваємо масив точок P 0, P 1,…, Pn (n має бути кратним 3) на l підмножин, кожна з яких містить чотири точки так, що остання точка попередньої підмножини – це перша точка наступної підмножини, тобто

{ P 0, P 1, P 2, P 3}, { P 3, P 4, P 5, P 6}, …, { P 3 l, P 3 l + 1, P 3 l + 2, P 3 l + 3}.

На кожній такій підмножині можна побудувати елементарну криву Без’є, тобто окремий фрагмент складеної кривої Без’є. Об’єднання окремих фрагментів дає складену кубічну криву Без’є, яка належить до класу неперервних функцій. Якщо тепер змінити якусь точку масиву, то складена крива Без’є зміниться тільки локально. Щоб крива була гладкою, необхідно забезпечити виконання умови на краях двох сусідніх сегментів:

- похідна першого сегменту в останній точці;

- похідна другого (сусіднього) сегменту в першій точці;

g – деяка стала.

Приклад 3. Нехай задано точки P 0, P 1, P 2, P 3, P 4, P 5.

Рис. 4 Вхідні дані для побудови кривої Без’є

Побудуємо криву третього порядку. Як бачимо, з набору точок можна розглянути дві криві (два сегменти) з точками B_i та C_i. Виберемо мередину выдрызка B_n =C₀, що знаходиться між точками P 2, P 3. Тоді перша крива буде мати: B₀ =Р₀, B₁ =Р₁, B₂ =Р₂, B₃ =С₀, друга крива – С₀ =В₃, С₁ =Р₃, С₂ =Р₄, С₃ =Р₅ (рис.5).

Рис.5. Побудова кривої Без’є

З прикладу випливає, що

,

.

Тобто умова гладкості виконується

тобто

Примітка. Для того, щоб складена кубічна крива Без’є була C 1-гладкою необхідно, щоб трійки вершин P 3 i – 1, P 3 i, P 3 i + 1 лежали на одній прямій. Тобто розбиваємо масив точок P ₀, P ₁,…, P_n на l підмножин таким чином:

{ P 0, P 1, P 2, P 3}, { P 1, P 2, P 3, P 4}, …, { P 3 l, P 3 l + 1, P 3 l + 2, P 3 l + 3}.

Відрізок { P 0, P 1, P 2, P 3}, описує криву між точками P 1 та P 2, а відрізок { P 1, P 2, P 3, P 4} між точками P 2 та P 3 і т.д. Гладкість зшивання відрізків буде залежати від порядку полінома(чим вищий порядок, тим гладше будуть зшиватись відрізки). На границях необхідно вибрати умову, наприклад, що відповідні похідні рівні нулю.

Зауваження. Метод побудови кривої Без’є в графічних пакетах базується на використанні дотичних управляючих ліній, що проведені до сегмента кривої на його кінцях (вузлах). При цьому форму кривої Без’є моделюють шляхом зміни нахилу дотичних і довжини відрізка, які визначаються контрольними точками.