Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Десятичные приближения действительных чисел

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА II

Пусть α есть некоторое положительное действительное число, представленное в виде бесконечной дроби. Вначале мы предположим, что эта дробь не является периодической с периодом 0. (Например, в качестве α не может выступать число 0,5 = 0,5000....) Тогда десятичные приближения числа α с недостатком определяются как числа, которые получаются в результате последовательного отбрасывания всех его цифр, стоящих после запятой, начиная с первой цифры, потом со второй, затем с третьей и т. д. Например, для числа √2 = 1,41421... такими приближениями будут:

1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421;....

Если последнюю цифру каждого из десятичных приближений числа α увеличить на 1, то мы получим последовательные десятичные приближения числа α с избытком. Например, для числа √2 такими приближениями будут:

2; 1,5; 1,42; 1,415; 1,4143; 1,41422;....

Очевидно, что число α больше любого своего десятичного приближения с недостатком, но меньше любого своего десятичного приближения с избытком. Например, для числа √2

1< √2 < 2

1,4< √2 < l,5

1,41 √2 < 1,42

1,414 < √2 < 1,415

1,4142 < √2 < 1,4143

1,41421 < √2 < 1,41422

и т. д.

Теперь предположим, что α есть периодическая десятичная дробь с периодом 0. Примером такого числа может служить число 1,47 = 1,4700.... Десятичные приближения этого числа с недостатком естественно определить как числа

1; 1,4; 1,47; 1,470; 1,4700;...,

а десятичные приближения с избытком — как числа

2; 1,5; 1,47; 1,470; 1,4700;....

Вообще, пусть нулевой период числа α начинается с k -го десятичного знака после запятой (например, Для числа 1,47 = = 1,470000... k = 3). Тогда его первые k — 1 десятичных приближений с недостатком и первые k — 1 десятичных приближений с избытком определяются так же, как и в случае, когда рассматриваемая дробь не является периодической с периодом 0. Все же остальные десятичные приближения считаются равными числу α. Так, для числа 0,373 = 0,37300... десятичными приближениями будут:

с недостатком 0; 0,3; 0,37; 0,373; 0,3730; 0,37300;...,

с избытком 1; 0,4; 0,38; 0,373; 0,3730; 0,37300;....

Очевидно, что в этом случае число α не меньше любого своего десятичного приближения с недостатком и не больше любого своего десятичного приближения с избытком.

Мы показали, как составляются десятичные приближения (с недостатком и с избытком) для любых положительных действительных чисел. Аналогично можно определить десятичные приближения и для произвольных отрицательных чисел. Мы не, будем приводить здесь общих определений; покажем лишь, как следует находить десятичные приближения отрицательных чисел на примере числа —√2 = — 1,41421....

Как мы знаем (см. § 43), из двух отрицательных чисел больше тo, абсолютная величина которого меньше. Поэтому из полученных выше соотношений

1< √2 < 2

1,4< √2 < l,5

1,41 √2 < 1,42

1,414 < √2 < 1,415

1,4142 < √2 < 1,4143

1,41421 < √2 < 1,41422

..................................................

вытекает, что

—2 <—√2 <—1

— 1,5 <— √2 <—1,4.

— 1,42 < —√2 <—1,41

— 1,415 < — √2 < —1,414

— 1,4143 < — √2 < — 1,4142

— 1,41422 < — √2 <— 1,41421

Числа, стоящие в левых частях этих неравенств, естественно назвать десятичными приближениями числа — √2 с недостатком, а числа, стоящие в правых частях, — десятичными приближениями числа —√2 с избытком. Очевидно, что число —√2больше любого своего десятичного приближения с недостатком, но меньше любого своего десятичного приближения с избытком. Добавим, наконец, что для действительного числа 0 также можно построить десятичные приближения с недостатком и десятичные приближения с избытком. Каждое из таких приближений считается равным нулю.

Итак, с каждым действительным числом α можно связать две бесконечные последовательности чисел:

α 1', α 2', α 3', α 4',...;

α 1'', α 2'', α 3'', α 4'',....

Первая последовательность состоит из десятичных приближений числа α с недостатком, а вторая — из десятичных приближений числа α с избытком. При этом

α 1' < α < α 1''

α 2' < α < α 2''

α 3' < α < α 3''

α 4' < α < α 4''

и т. д.

Важно отметить, что каждое из десятичных приближений числа α является рациональным числом, хотя само число α может быть и иррациональным.


<== предыдущая | следующая ==>
 | Программа тренингов и мастер-классов по управлению персоналом

Date: 2015-10-21; view: 645; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...



mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.006 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию