Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Десятичные приближения действительных чиселДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА II Пусть α есть некоторое положительное действительное число, представленное в виде бесконечной дроби. Вначале мы предположим, что эта дробь не является периодической с периодом 0. (Например, в качестве α не может выступать число 0,5 = 0,5000....) Тогда десятичные приближения числа α с недостатком определяются как числа, которые получаются в результате последовательного отбрасывания всех его цифр, стоящих после запятой, начиная с первой цифры, потом со второй, затем с третьей и т. д. Например, для числа √2 = 1,41421... такими приближениями будут: 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421;.... Если последнюю цифру каждого из десятичных приближений числа α увеличить на 1, то мы получим последовательные десятичные приближения числа α с избытком. Например, для числа √2 такими приближениями будут: 2; 1,5; 1,42; 1,415; 1,4143; 1,41422;.... Очевидно, что число α больше любого своего десятичного приближения с недостатком, но меньше любого своего десятичного приближения с избытком. Например, для числа √2 1< √2 < 2 1,4< √2 < l,5 1,41 √2 < 1,42 1,414 < √2 < 1,415 1,4142 < √2 < 1,4143 1,41421 < √2 < 1,41422 и т. д. Теперь предположим, что α есть периодическая десятичная дробь с периодом 0. Примером такого числа может служить число 1,47 = 1,4700.... Десятичные приближения этого числа с недостатком естественно определить как числа 1; 1,4; 1,47; 1,470; 1,4700;..., а десятичные приближения с избытком — как числа 2; 1,5; 1,47; 1,470; 1,4700;.... Вообще, пусть нулевой период числа α начинается с k -го десятичного знака после запятой (например, Для числа 1,47 = = 1,470000... k = 3). Тогда его первые k — 1 десятичных приближений с недостатком и первые k — 1 десятичных приближений с избытком определяются так же, как и в случае, когда рассматриваемая дробь не является периодической с периодом 0. Все же остальные десятичные приближения считаются равными числу α. Так, для числа 0,373 = 0,37300... десятичными приближениями будут: с недостатком 0; 0,3; 0,37; 0,373; 0,3730; 0,37300;..., с избытком 1; 0,4; 0,38; 0,373; 0,3730; 0,37300;.... Очевидно, что в этом случае число α не меньше любого своего десятичного приближения с недостатком и не больше любого своего десятичного приближения с избытком. Мы показали, как составляются десятичные приближения (с недостатком и с избытком) для любых положительных действительных чисел. Аналогично можно определить десятичные приближения и для произвольных отрицательных чисел. Мы не, будем приводить здесь общих определений; покажем лишь, как следует находить десятичные приближения отрицательных чисел на примере числа —√2 = — 1,41421.... Как мы знаем (см. § 43), из двух отрицательных чисел больше тo, абсолютная величина которого меньше. Поэтому из полученных выше соотношений 1< √2 < 2 1,4< √2 < l,5 1,41 √2 < 1,42 1,414 < √2 < 1,415 1,4142 < √2 < 1,4143 1,41421 < √2 < 1,41422 .................................................. вытекает, что —2 <—√2 <—1 — 1,5 <— √2 <—1,4. — 1,42 < —√2 <—1,41 — 1,415 < — √2 < —1,414 — 1,4143 < — √2 < — 1,4142 — 1,41422 < — √2 <— 1,41421 Числа, стоящие в левых частях этих неравенств, естественно назвать десятичными приближениями числа — √2 с недостатком, а числа, стоящие в правых частях, — десятичными приближениями числа —√2 с избытком. Очевидно, что число —√2больше любого своего десятичного приближения с недостатком, но меньше любого своего десятичного приближения с избытком. Добавим, наконец, что для действительного числа 0 также можно построить десятичные приближения с недостатком и десятичные приближения с избытком. Каждое из таких приближений считается равным нулю. Итак, с каждым действительным числом α можно связать две бесконечные последовательности чисел: α 1', α 2', α 3', α 4',...; α 1'', α 2'', α 3'', α 4'',.... Первая последовательность состоит из десятичных приближений числа α с недостатком, а вторая — из десятичных приближений числа α с избытком. При этом α 1' < α < α 1'' α 2' < α < α 2'' α 3' < α < α 3'' α 4' < α < α 4'' и т. д. Важно отметить, что каждое из десятичных приближений числа α является рациональным числом, хотя само число α может быть и иррациональным.
|