Если определитель системы уравнений то такая система уравнений имеет одно определенное решение, получаемое по формулам

(3)

Формулы (3) называются формулами Крамера, где Δх_i получается заменой i-го столбца в главном определителе Δ столбцом свободных членов.

Если определитель системы Δ=0 и по крайней мере один из определителей , то такая система уравнений не имеет решения. Если же Δ=0 и все Δх_i=0, то данная система уравнений либо не имеет решения, либо имеет бесчисленное множество решений.

Определитель данной системы .

Вычислим вспомогательные определители:

Применяя формулы (3), находим:

Пример 4. Решить систему методом Гаусса

Решение.

Составим по данной системе расширенную матрицу

умножим первую строку на и сложим со второй строкой и с четвертой строкой; умножим первую строку на и сложим с третьей строкой, получим

поменяем местами вторую и третью строки

умножим вторую строку на 7 и сложим с четвертой строкой

умножим третью строку на 31, а четвертую на 8 и сложим эти строки

разделим последнюю строку на 2

От ступенчатого вида матрицы переходим к системе

т.е. обратным ходом Гаусса находим все переменные.