Передумова математичне моделювання

З розвитком ЕОМ появилась можливість моделювати процеси любої складності, навіть і такі, які не можливо в звичайних умовах вивчать.

На відміну від звичайного, лабораторного експерименту в математичному моделюванні широко розвинута теоретична основа. В математичному моделюванні на відміну від інших форм моделювання явища замінюються математичним описом, який відтворюється обчислювальними машинами. Основні етапи математичного моделювання можна зобразити у вигляді описувального (словесного) алгоритму.

Тобто спочатку той процес, що ми хочемо змоделювати описуємо за допомогою термінів і понять тієї області знань, де він використовується потім за допомогою формул будуємо математичну модель для ЕОМ. А вся програма реалізується на обчислювальній машині і отримується необхідний результат.

При математичному моделюванні у вигляді об'єкту вивчення може бути і ціла структура, і окремий процес, і складові процесу.

Звичайно при вивченні загальнонаукових і загально-інженерних дисциплін проблем з математичним апаратом (рівняннями, граничними і початковими умовами) не має, - вони відомі.

В спеціальних дисциплінах, таких як технологія цукру, більшість процесів базується на основі багаторічного практичного досвіду і тут виникає необхідність в створенні математичного апарату процесів, перевірці і використанню різних методів аналізу при вирішенні конкретних задач.

Успішна розробка математичних моделей окремих явищ і процесів головним чином і визначає успіх використання математичного моделювання на ЕОМ при вивченні технології і в праці технолога.

Якщо ми згадаємо систематичний аналіз з його принципом чорного ящика, який має вхідні X_і і вихідні Y_j змінні, а також параметри Z_k, які в даному процесі постійні, то одним з основних завдань математичної моделі якраз і є знаходження залежності між вхідними і вихідними параметрами:

Y_j = f (X_i, Z_k) (2.1)

Правда, для цього треба знати перелік змінних, які з достатньою повнотою характеризують об'єкт що вивчається і необхідну ступінь деталізації рівнянь, або точність рішення.

Умовно процес побудови і вивчення математичних моделей можна поділити на цілий ряд етапів.

2.3. Етапи розробки математичної моделі

Математичне моделювання виконується в чотири основні взаємо­зв'язані етапи (рис. 11):

1) Формалізація задачі що вивчається;

2) Розробка математичного опису задачі;

3) Алгоритмізація і програмування математичної моделі;

4) Перевірка адекватності моделі (відповідності моделей процесу що вивчається) і використання моделі.

Розглянемо ці етапи більш детально.

Формалізація задачі

На першому етапі побудови моделі спочатку виконується постановка задачі моделювання. Для цього визначається і аналізується задача, проводиться збирання і обробка інформації, знаходяться її параметри, змінні і критерії ефективності. Далі висуваються гіпотези про форму зв’язків між параметрами і перевіряється правильність висунутих гіпотез експериментально, вибирається раціональна структура моделі.

Постановка задачі потребує до 20% затрат на розробку моделі.

Важливим кроком на цьому етапі є чітке формулювання задачі з передбаченою послідовністю її рішення. При цьому визначається загальний об'єм задачі, при необхідності, передбачається розбиття задачі на підзадачі.

Далі продумують попередні можливі методи рішення підзадач, формують вимоги до використання ЕОМ і мови програмування.

Перед розробкою опису математичної моделі необхідно знайти параметри системи, вхідні і вихідні змінні об’єкту, а також степінь їх впливу на результати моделювання. Ці параметри можна поділити на чотири групи:

- параметри нагляду, вхідні змінні, які залежать від протікання процесу в апараті або технологічній структурі але не використовуються для цілей управління;

- параметри стану, вихідні змінні, які характеризують протікання процесу і використовуються для його оцінки, а також оцінки ефективності системи управління;

- параметри управління, вхідні змінні, змінюючи які впливають на хід протікання процесу;

- параметри збурення, вхідні змінні, які впливають на процес, але які не залежать від стану об’єкту і використати які для цілей управління неможливо або нераціонально.

Рис.2.1. Етапи розроблення математичної моделі.

При цьому виконується оцінка важливості і вплив кожного параметра на результат рішення задачі, визначаються характеристики, діапазон зміни, назва і позначення кожного параметра.

Далі визначається мета моделювання, яка витікає із призначення моделі: визначення механізму явища, знаходження технологічного режиму, вдосконалення конструкції апарату або системи управління. З параметрів стану вибираються змінні, які можна використати як критерії оцінки результатів моделювання, виходячи із її призначення.

Опис математичної моделі

На цьому етапі спочатку встановлюють зв’язки між параметрами об’єкту моделювання на основі законів фундаментальних наук. Далі знаходять зв’язки між параметрами у вигляді таблиць, графіків, статистичних даних і отриманих раніше формул.

В залежності від рівня інформованості про модельовану систему в ній можуть бути відсутні деякі зв’язки або коефіцієнти рівнянь. У цьому випадку виконується планування багатофакторного експерименту і відсутні зв’язки або коефіцієнти знаходяться експериментально.

Далі вихідні дані і рівняння перетворюються до такої форми, яка дозволяє вирішити поставлену задачу на ПК. Таблиці і графіки перетворюються до математичних формул. Деякі рівняння, які мають незначний вплив на кінцевий результат виключаються. Крім рівнянь вводяться обмеження на параметри моделі, вводяться початкові або граничні умови. Обмеження можуть бути записаними у вигляді нерівностей.

Рівняння оформлюються у параметричну схему, яка дає змогу визначити чи всі змінні моделі вводяться або рахуються.

При побудові опису математичної моделі слід притримуватись деяких правил:

- кількість рівнянь повинно бути стільки, як і невідомих величин, які визначають поведінку системи;

- любе рівняння, в якому є невідома величина, а решта змінних знайдені з інших рівнянь, повинна вирішуватись відносно цієї змінної;

- змінна, відносно якої вирішується рівняння, є найбільш значимою величиною рівняння, що витікає із фізичного змісту задачі.

Метод рішення задачі вибирають в залежності від складності і кількості рівнянь, з яких складається математична модель. Якщо кількість незалежних рівнянь більше кількості невідомих, то тоді існує нескінчена кількість рішень. В цьому разі необхідно вводити допоміжні умови, які дозволять найти найкраще рішення.

В противному разі, можливо виникнення значної помилки при рішенні задачі і тому для її зменшення необхідно використати усі рівняння моделі.

Алгоритмізація і програмування

Цей етап докладно розглянутий при вивченні курсу “Комп’ютерна техніка і програмування на ЕОМ”. При створенні алгоритму необхідно щоб виконувались всі властивості алгоритмів, а особливо умова скінченності. Якщо вона не виконується необхідно внести зміни або доповнення до опису математичної моделі.

При написанні програми в першу чергу слід вибрати найбільш ефективну мову програмування. Як правило, в даний час це мови високого рівня, які дозволяють створювати структуровані програми з великою кількістю окремих модулів, підпрограм. Така структура програми дозволяє швидко і без великих затрат часу змінювати структуру програми при змінах в описі моделі, підлагоджувати і тестувати програму.

Перевірка адекватності і використання

При наявності готової, підлагодженої програми моделі об’єкту виконується перевірка на адекватність, достовірність, моделі реальному процесу. Для цього вибирається критерій оцінки моделі з параметрів стану. Таким кретерієм може бути одна змінна або група параметрів, об’єднаних в одному критерії.

Для проведення математичного експерименту на моделі складають план і виконують експеримент. Результати експерименту аналізують з використанням даних промислових дослідів, або результатів роботи виробничих процесів і систем. Критерій оцінки достовірності отриманої моделі вибирається в залежності від умови значущості об’єкту і може бути виражений в критеріальній формі, наприклад, у вигляді критерію Фішера.

Якщо ж математична модель не адекватна, то до неї можуть вноситися зміни, починаючи з постановки задачі і закінчуючи програмуванням.

Коли модель підтверджує свою достовірність, то на ПК по програмі моделі виконуються необхідні розрахунки, виходячи із мети досліджень.

2.4. Класифікація математичних моделей.

Люба класифікація умовна, тим більше класифікація математичних моделей процесів і систем. В першу чергу класифікація моделі залежить від класифікації об’єкту, який моделюється, а також від мети моделювання і призначення моделі, про що мовилось раніше.

Розглянемо такі класифікації математичних моделей:

1) По типу задачі що вирішуємо.

- Прямі, в яких по вхідних параметрах і збурення знаходять вихідні параметри, реакції системи. Такі моделі використовуються для проектних розрахунків процесів і технологічних систем;

- Зворотні, в яких по реакції системи знаходять необхідні вхідні параметри, а також внутрішні зв'язки між ними. Такі моделі використовуються для синтезу технологічних систем, проектування процесів і апаратів і їх оптимізації, а також для перевірочних розрахунків існуючих об’єктів;

- Індуктивні, коли по властивостях системи і її реакціях знаходяться рівняння процесу.

2) По закономірностях зміни основного параметру.

- Статичні моделі, в яких зміна параметрів не залежить від часу. По них знаходять граничні умови ведення процесу. Як правило, такі моделі описуються системами лінійних алгебраїчних рівнянь.

- Кінетичні моделі, які дозволяють знайти характер зміни концентрації, температури, або іншого технологічного параметра в залежності від заданих значень параметрів основного продукту. В таких моделях використовуються звичайні диференційні рівняння.

- Динамічні моделі, які дозволяють знайти зміну параметрів на виході при зміні параметрів на вході в апарат x_і = f(t). Такі моделі використовують звичайні диференційні рівняння, або диференційні рівняння в частинних похідних.

3. По признаку стаціонарності.

- Моделі з розподіленими параметрами, в яких параметри змінюються в часі або в просторі, описують у вигляді диференційних рівнянь в частинних похідних, або регресіями;

- Моделі із зосередженими параметрами, в яких параметри змінюються тільки в часі. Для їх опису використовують звичайні алгебраїчні і диференційні рівняння. Похідні таких моделей по координатам дорівнюють нулю.

Така класифікація моделей відповідає поняттям стаціонарних і нестаціонарних об’єктів.