Теорема Чебышева

Пусть ξ₁, ξ₂, ξ₃, …, ξ_n - попарно независимые случайные величины, имеющие конечные дисперсии. Тогда вероятность того, что среднее арифметическое случайных величин отклонится от среднего арифметического их математических ожиданий по модулю на величину меньшую ε, стремится к 1 при неограниченном увеличении n: .

Сущность теоремы Чебышева состоит в следующем: хотя отдельные независимые случайные величины могут принимать значения, далекие от своих математических ожиданий, среднее арифметическое большого числа случайных величин с большой вероятностью принимает значение, близкое к среднему арифметическому их математических ожиданий.

Таким образом, нельзя уверенно предсказать, какое возможное значение примет каждая из случайных величин, но можно предвидеть, какое значение примет их среднее арифметическое. Итак, среднее арифметическое достаточно большого числа независимых случайных величин утрачивает характер случайной величины. Объясняется это тем, что отклонения каждой из величин от своих математических ожиданий могут быть как положительными, так и отрицательными, а в среднем они взаимно погашаются.

Теорема Ляпунова (центральная предельная теорема)

Рассмотрим случайные величины ξ₁, ξ₂, ξ₃, …, ξ_n и найдем закон распределения их суммы при неограниченном увеличении n:

ζ_n= ξ₁+ξ₂+ξ₃+…+ξ_n. Оказывается, что закон распределения такой суммы близок к нормальному закону. Соответствующее утверждение называется центральной предельной теоремой. Ее строгое доказательство впервые было дано русским математиком А. М. Ляпуновым.

Теорема Ляпунова (центральная предельная теорема)

Если случайная величина ζ_n представляет собой сумму большого числа независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то ζ_n имеет распределение близкое к нормальному: пусть ζ_n=ξ₁+ξ₂+ξ₃+…+ξ_n, A_n=M_ζn=M_ξ1+M_ξ2+M_ξ3+…+M_ξn, B_n=D_ζn=D(ξ1+ξ2+ξ3+…+ξn)=D_ξ1+D_ξ2+D_ξ3+…+D_ξn, то

Контрольные вопросы:

1. Сформулируйте лемму Чебышева. Приведите пример ее использования.

2. Какое неравенство называется неравенством Чебышева? Приведите пример его использования.

3. Сформулируйте теорему Чебышева.

4. Сформулируйте теорему Ляпунова.

Литература:

1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н.Фридман. Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2005. – 471 с.

2. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник. / Под ред. В.И. Ермакова. –М.: ИНФРА-М, 2006. – 655 с.

3. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред.В.И. Ермакова. М.: ИНФРА-М, 2006. – 574 с.

4. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и магматической статистике. - М.: Высшая школа, 2005. – 400 с.

5. Гмурман. В.Е Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 2005.

6. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1, 2. – М.: Оникс 21 век: Мир и образование, 2005. – 304 с. Ч. 1; – 416 с. Ч. 2.

7. Математика в экономике: Учебник: В 2-х ч. / А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, И.Г. Шандара. – М.: Финансы и статистика, 2006.

8. Шипачев В.С. Высшая математика: Учебник для студ. вузов – М.: Высшая школа, 2007. – 479 с.