Колебания груза на пружине

Колебания массы на пружине при отсутствии вынуждающей силы называются свободными. Свободные колебания при отсутствии трения являются гармоническими.

Колебательное движение груза на пружине происходит под действием упругой силы по вертикальному направлению.

По второму закону Ньютона

или ,

где – масса колеблющегося тела, – коэффициент упругости (жёсткость) пружины. Пружинный маятник совершает гармонические колебания по закону с циклической частотой и периодом . Формула справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука, т.е. масса пружины мала по сравнению с массой тела. Потенциальная энергия пружинного маятника равна .

Гармоническими колебаниями называются такие колебания, в которых колеблющаяся величина изменяется по закону синуса или косинуса. Уравнение гармонического колебания

или , , (1)

где – коэффициент упругости (жёсткость), – масса колеблющейся системы, – смещение колеблющейся системы, – сила упругости (возвращающая сила). Решение дифференциального уравнения имеет вид

или ,

где – колеблющаяся величина (смещение, скорость, ускорение, сила, импульс и др.), – время, – амплитуда колебания, равная максимальному отклонению колеблющейся величины от положения равновесия, – циклическая (круговая) частота. Циклическая частота численно равна числу полных колебаний, совершаемых за время с, т.е. , – частота колебаний равна числу полных колебаний, совершаемых за единицу времени. Период колебаний – время, за которое совершается одно полное колебание. Фаза колебания определяет значение в данный момент времени , или какую часть от амплитуды составляет смещение в данный момент времени. Начальная фаза колебания определяет момент начала отсчёта времени, т.е. при .

Характеристики гармонического свободного колебания материальной точки (массы на пружине), совершаемого по закону , при

, .

Здесь индексом 0 обозначены (, , , , , , ) – максимальные (амплитудные) значения величин.

Скорость м.т. , где .

Ускорение м.т. ; .

Возвращающая сила, действующая на м. т. ; .

Импульс м.т. ; .

Кинетическая энергия м.т. ; .

Среднее значение кинетической энергии м.т. за один период .

Потенциальная энергия м.т. ; .

Среднее значение потенциальной энергии м.т. .

Колебание м.т. совершается по закону , при , .

Скорость м.т. , где .

Ускорение м.т. ; .

Возвращающая сила, действующая на м.т. ; .

Импульс м.т. ; .

Кинетическая энергия м.т. ; .

Потенциальная энергия м.т. ; . По закону сохранения механической энергии максимальные значения , средние значения за период . Полная энергия колеблющейся м. т. равна . Так как , .

Согласно выражениям (2) квадрат у синуса и косинуса в кинетической и потенциальной энергии показывает, что эти величины со временем изменяются с удвоенной частотой .

(2)

Ускорение, скорость, смещение м. т. находятся в последовательности . Ускорение опережает скорость по фазе на , а смещение – на . Скорость опережает смещение по фазе на . Вторая производная от смещения по времени пропорциональна смещению и имеет обратный ему знак . Сила, действующая на колеблющуюся м. т., . Она пропорциональна смещению м. т. из положения равновесия и направлена к положению равновесия.

Затухающими колебаниями называются колебания, энергия которых уменьшается с течением времени. Энергия расходуется на работу против сил трения. Затухающие колебания совершаются при одновременном действии сил: упругой силы и силы сопротивления среды. Уравнение затухающего колебания при небольших затуханиях вытекает из второго закона Ньютона , т.е.

, или , или , (3)

где – масса колеблющегося тела, = - его ускорение, F_упр= - - упругая (возвращающая) сила, – сила сопротивления среды, – коэффициент сопротивления среды, = – скорость движения тела в среде. Решение дифференциального уравнения (3) даёт зависимость смещения от времени

,

где – коэффициент затухания, – циклическая частота затухающих колебаний системы, – собственная циклическая частота свободных колебаний системы. Отношение двух последующих амплитуд одного и того же знака и , отстоящих друг от друга на период , называется декрементом затухания . Натуральный логарифм от отношения двух последующих амплитуд, отстоящих друг от друга на период , называется логарифмическим декрементом затухания . Время релаксации равно промежутку времени , в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в раз. Логарифмический декремент затухания , где = / T – число колебаний, совершаемых за время релаксации, т.е. за время уменьшения амплитуды в раз. Добротностью колебательной системы называется число, равное умноженному на 2π отношению полной энергии к величине потери энергии за период за счёт её диссипации. Добротность пропорциональна числу колебаний , совершаемых системой за время релаксации .